[数] 超二次曲面的
[数] 超二次曲面
超二次曲面（hyperquadric）是几何学中高维空间中二次曲面的扩展形式，定义为满足多元二次方程的所有点集合。其数学表达式可表示为： $$ sum_{i=1}^n a_i xi + sum{i<j} b_{ij} x_i xj + sum{i=1}^n c_i x_i + d = 0 $$ 其中，系数$ai$、$b{ij}$、$c_i$和$d$决定曲面形状，维度$n geq 3$时称为超二次曲面。
在三维空间中，超二次曲面退化为经典二次曲面，如椭球面或双曲面。高维情况下，它在计算机图形学中用于复杂形状建模，在机器学习中则作为分类边界函数的基础结构。根据系数矩阵的正定性差异，超二次曲面可分为椭圆型、双曲型等类别，这一分类与微分几何中的曲率分析直接关联。
该术语的严格定义可参考《几何与拓扑词典》（Encyclopedia of Mathematics，由欧洲数学学会维护），相关应用案例详见斯坦福大学计算数学课程讲义（MATH 231B）。
"hyperquadric"（法语：hyperquadrique）是一个数学几何术语，其核心解释如下：
1. 基本定义 指高维空间中的二次曲面扩展形式，属于n维欧几里得空间（n≥3）中的二次超曲面。在三维空间中对应常规二次曲面（如椭球面、双曲面等），而超二次曲面将其推广到更高维度。
2. 数学表达 一般代数形式可表示为： $$ sum_{i=1}^n a_i xi + sum{1 leq i < j leq n} b_{ij}x_i xj + sum{i=1}^n c_i x_i + d = 0 $$ 其中系数矩阵的秩决定了曲面类型。
3. 应用领域
注：由于当前搜索结果信息有限，建议需要专业数学定义或参数化方程的用户，可进一步查阅《微分几何》《计算机图形学》等领域的专业文献获取完整技术细节。
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