hopf是什么意思，hopf的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

霍普夫

n. (Hopf)人名；(德、捷、瑞典)霍普夫

例句

They finished their long-term classification effort of Hopf algebras with coradical.

他们完成了长期以来努力对霍普夫代数上根进行的分类。

The impulse transfer function is found through Wiener-Hopf equation.

利用维纳——何甫方程求出脉冲传递函数。

It is shown that the model undergoes saddle-node bifurcation and Hopf bifurcation.

该模型经历了鞍结点分支和霍普夫分支。

Influence ofd axis stator current reference on Hopf bifurcation was also discussed.

同时讨论了定子电流励磁分量给定信号对分岔条件的影响。

By using the method of centre manifold, the stability of the Hopf bifurcations is also proven.

利用中心流形约化方法证明了霍普夫分歧解的稳定性。

专业解析

Hopf 一词在数学中主要与Hopf 代数和Hopf 不变量这两个核心概念相关，它们分别源于代数学和拓扑学领域，均以德国数学家 Heinz Hopf (1894-1971) 的名字命名。以下是其详细解释：

一、 Hopf 代数 (Hopf Algebra)

核心定义： Hopf 代数是一种兼具代数结构和余代数结构，并满足特定兼容性条件的数学对象。具体来说，它是一个定义在域（通常是复数域 ℂ 或特征为零的域）上的向量空间 H，同时配备以下运算：
- 乘法 (Multiplication)： $m: H otimes H to H$，表示代数乘法。
- 单位 (Unit)： $u: mathbb{C} to H$，表示单位元映射。
- 余乘法 (Comultiplication / Coproduct)： $Delta: H to H otimes H$，将元素分解为两个元素的张量积。常用 Sweedler 记号表示为 $Delta(x) = sum x{(1)} otimes x{(2)}$。
- 余单位 (Counit)： $epsilon: H to mathbb{C}$，类似于“求迹”或“求值”的线性泛函。
- 对极映射 (Antipode)： $S: H to H$，一个满足特定条件的反自同构。这些运算必须满足一系列公理，确保乘法与余乘法相容（即余乘法是代数同态），并且对极映射是乘法和余乘法的某种“逆”。
核心性质与意义：
- 对偶结构： Hopf 代数将代数（合成操作）和余代数（分解操作）统一在一个框架内，并通过余乘法和余单位引入了“分解”或“解耦”的概念。
- 群与李代数的推广：群环（Group Algebra）和泛包络代数（Universal Enveloping Algebra）是 Hopf 代数的典型例子。群环的余乘法由群元素的 $Delta(g) = g otimes g$ 给出，对极映射是 $S(g) = g^{-1}$。泛包络代数的余乘法由 $Delta(x) = x otimes 1 + 1 otimes x$ 给出（x 是李代数生成元）。
- 量子群 (Quantum Groups)： Hopf 代数理论是研究量子群的基础。量子群是经典李群或李代数的非交换变形，在数学物理（如可积系统、共形场论）和低维拓扑（如纽结不变量）中有重要应用。
- 表示理论： Hopf 代数的表示范畴具有张量积结构（由余乘法诱导）和对偶表示（由对极映射诱导），这大大丰富了表示论的研究内容。

二、 Hopf 不变量 (Hopf Invariant)

核心定义： Hopf 不变量是代数拓扑中定义的一个整数（或有理数）不变量，用于分类球面之间的映射的同伦类，特别是映射 $f: S^{2n-1} to S^n$（n ≥ 2）。它源于 Heinz Hopf 对 Hopf 纤维化 $S to S$ 的研究。
构造与计算：给定映射 $f: S^{2n-1} to S^n$，可以通过映射锥 (Mapping Cone) $C_f$ 构造。$C_f$ 的上同调环结构包含了映射 $f$ 的信息。具体地，$C_f$ 在维度 n 和 2n 有生成元 α 和 β。乘积 $alpha cup alpha$ 在 $H^{2n}(C_f)$ 中，而 $H^{2n}(C_f)$ 由 β 生成。因此存在整数 h(f) 使得 $alpha cup alpha = h(f) beta$。这个整数 h(f) 就称为映射 f 的Hopf 不变量。
核心性质与意义：
- 同伦不变量： Hopf 不变量只依赖于映射 f 的同伦类。
- Hopf 纤维化：最著名的例子是 Hopf 纤维化 $f: S to S$（将 S³ 视为复平面上的单位球面，映射到复射影直线 CP¹ ≈ S²）。它的 Hopf 不变量 h(f) = 1。
- 同伦群分类： Hopf 不变量是计算球面同伦群 $pi{2n-1}(S^n)$ 的关键工具。例如，当 n 是偶数时，$pi{2n-1}(S^n)$ 包含一个无限循环群，其元素由 Hopf 不变量区分。当 n 是奇数且大于 1 时，$pi_{2n-1}(S^n)$ 是有限群，Hopf 不变量仍然提供重要信息。
- 存在性定理： Hopf 不变量为 1 的映射只存在于 $n = 2, 4, 8$ 的情形，分别对应于复数 ℂ、四元数 ℍ 和八元数上的 Hopf 纤维化。这与 Adams 定理（关于球面上可除代数的维数）密切相关。

“Hopf” 在数学中主要指代由 Heinz Hopf 开创或与之密切相关的两个深刻概念：

Hopf 代数：一种融合了乘法与余乘法结构的代数，是群、李代数、量子群等结构的推广，在表示论、数学物理和量子计算中应用广泛。
Hopf 不变量：一个用于分类球面间映射的同伦类的重要拓扑不变量，尤其与经典的 Hopf 纤维化及其在高维的推广紧密相连，深刻揭示了球面同伦群的结构和可除代数的存在性。

参考文献来源：

Hopf 代数标准定义与性质可参考抽象代数或 Hopf 代数专著，如 Sweedler 的 “Hopf Algebras”。
Hopf 不变量的构造与定理可参考代数拓扑教材，如 Hatcher 的 “Algebraic Topology” (Chapter 4. L) 或 Bredon 的 “Topology and Geometry” (Chapter VII)。
关于 Hopf 纤维化与同伦群的具体讨论，可参考拓扑学或微分几何教材的相关章节。

网络扩展资料

"Hopf" 是一个多领域术语，具体含义需结合上下文理解。以下是主要解释方向：

1.人名（姓氏）

在英语和德语中，"Hopf" 是常见的姓氏，音译为霍普夫或霍甫。例如数学家 Heinz Hopf（海因茨·霍普夫）是代数拓扑领域的先驱者。

2.数学与动力学概念

Hopf分岔（Hopf bifurcation）
指非线性动力系统中，当参数变化时平衡点失稳并产生极限环的现象，常见于振荡型系统（如化学反应、生态模型）。其数学形式可表示为微分方程组：
$$ frac{dX}{dt} = f(X, lambda, mu) $$
其中参数 $mu$ 的变化可能引发分岔。
Hopf代数
一种结合代数与余代数的双代数结构，研究内容包括余模、对偶构造等，应用于量子群和拓扑学。

3.医学术语

在皮肤病学中，"Hopf" 可能指疣状肢端角化症（Acrokeratosis verruciformis of Hopf），一种罕见的遗传性皮肤病变。

4.其他翻译与用法

部分词典将其直译为“分支”或“分岔”。
在低权威性资料中，也可能涉及特定数学结构（如 Hopf环、Hopf丛）。

如需更专业的学科解释（如数学证明或医学案例），建议通过权威学术平台查询。

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