eigenvalues是什么意思，eigenvalues的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

n. [数] 特征值；[数] 本征值；固有值

例句

These are termed the eigenvalues.

这些被称为特征值。

Eigenvalues and Eigenvectors. DVR Method.

本征值和本征矢量。DVR方法。

For example, no function returns the eigenvalues of a matrix.

例如，它没有返回矩阵的特征值的函数。

Notice that the energy eigenvalues are not equally spaced.

注意，这些本征值并不是等距离分布的。

In math, when you see multiple value solutions, these are eigenvalues.

在数学中，当你看到许多值的解法时，这些就是特征值。

同义词

n.|characteristic value/proper value;特征值；本征值；固有值

专业解析

特征值（eigenvalue）是线性代数中的一个核心概念，与线性变换密切相关。它描述的是：当一个线性变换作用于某个特定的非零向量（称为特征向量）时，该向量仅被缩放（拉伸或压缩），而不改变其方向。这个缩放因子就是特征值。

具体来说：

数学定义：对于一个给定的 n×n 方阵A（代表一个线性变换），如果存在一个非零向量v 和一个标量 λ，使得以下方程成立： Av = λv 那么，λ 就被称为矩阵A 的一个特征值，而v 就是对应于特征值 λ 的特征向量。
几何意义：特征值揭示了线性变换在其特征向量方向上的作用效果。特征向量v 在经过变换A 后，方向保持不变（或正好反向，如果 λ 为负），但其长度被缩放为原来的 |λ| 倍。特征值 λ 的正负号决定了缩放的方向（同向或反向），其绝对值的大小决定了缩放的程度。
物理与应用意义：特征值和特征向量在科学和工程领域有极其广泛的应用：
- 振动分析：在机械系统中，特征值代表系统的固有频率，特征向量代表相应的振动模态（振型）。
- 结构稳定性：在结构工程中，特征值分析可用于预测结构的屈曲载荷。
- 量子力学：在量子力学中，可观测量的测量结果对应于其算符（矩阵）的特征值，系统的状态由特征向量（本征态）描述。能量算符的特征值就是系统可能的能级。
- 数据分析与降维：在主成分分析（PCA）中，数据的协方差矩阵的特征值代表了数据在各个主成分方向上的方差大小，最大的特征值对应的特征向量就是第一主成分方向。
- 图像处理：例如在图像压缩和特征脸识别中。
- 系统微分方程：求解常系数线性微分方程组时，系数矩阵的特征值决定了系统解的长期行为（增长、衰减、振荡等）。

特征值（λ）是描述线性变换（由矩阵A 表示）在其特征向量方向上的缩放倍数的标量。它是理解矩阵本质属性、分析系统动态行为以及在众多科学工程领域进行建模和计算的关键工具。

参考资料：

MathWorld - Eigenvalue: https://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html (权威数学百科)
MIT OpenCourseWare - Linear Algebra (特征值与特征向量章节): https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/least-squares-determinants-and-eigenvalues/eigenvalues-and-eigenvectors/ (知名学府课程资料)
Khan Academy - Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/eigen-everything/v/linear-algebra-introduction-to-eigenvalues-and-eigenvectors (知名教育平台讲解)

网络扩展资料

特征值（eigenvalues）是线性代数中的核心概念，用于描述线性变换的固有性质。以下是详细解释：

1.数学定义

对于方阵 ( A )，若存在非零向量 ( mathbf{v} ) 和标量 ( lambda )，满足： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 则称 ( lambda ) 是 ( A ) 的特征值，( mathbf{v} ) 是对应的特征向量。
几何意义：特征向量在矩阵变换中仅被缩放（系数为 ( lambda )），方向保持不变。

2.关键性质

特征方程：通过方程 ( det(A - lambda I) = 0 ) 求解，其中 ( I ) 是单位矩阵。
实数和复数特征值：实数矩阵可能具有复数特征值（如旋转矩阵），但对称矩阵的特征值均为实数。
对角化：若矩阵有足够多的线性无关特征向量，可对角化为 ( A = PDP^{-1} )，其中 ( D ) 是对角阵（含特征值）。

3.应用领域

物理学：量子力学中的能量状态（哈密顿算子的特征值）、振动分析（固有频率）。
工程学：结构稳定性分析、主成分分析（PCA）降维。
计算机科学：图像压缩、PageRank算法（网页排序）。

4.举例

考虑矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )：

特征方程为 ( lambda - 4lambda + 3 = 0 )，解得 ( lambda = 3 ) 和 ( lambda = 1 )。
对应特征向量分别为 ( (1, 1) ) 和 ( (1, -1) )，表示沿这两个方向的缩放因子。

特征值揭示了矩阵的本质特性，广泛应用于科学和工程中分析系统的稳定性和行为模式。理解其数学基础有助于解决实际问题。

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