convex programming是什么意思，convex programming的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

凸规划

例句

Objective: To search optimal solutions of convex programming problems with linear constraints.

求线性约束凸规划问题的最优解。

The key idea of SSVM is to transform the standard model of SVM into an unconstraint quadric convex programming problem.

SSVM模型的基本思想是将标准的支撑向量机模型转化成一个无约束二次凸规划模型进行求解。

The paper offers a dual problem for the semi-infinite convex programming by using the directional derivative with zero dual gap.

本文对半无限凸规划提出一个用方向导数表述的对偶问题，其对偶间隙为零。

AimTo construct the ****** and feasible neural networks for solving a class of linearly constrained convex programming problems.

目的建立求解一类线性约束非线性凸规划的简单可行的神经网络。

In this paper, they modify the CHIP method and use the modified one to solve a broader class of non-convex programming problems.

文中对CHIP方法进行了改进并利用改进的方法去求解更大一类的非凸规划问题。

同义词

|convex optimization;凸规划

专业解析

凸规划（Convex Programming）是数学优化领域中的一个核心分支，特指目标函数为凸函数，且其约束条件定义的可行域为凸集的一类优化问题。这类问题因其良好的数学性质（如局部最优解即全局最优解）和相对高效的求解算法，在工程、经济学、机器学习等领域有广泛应用。

以下是凸规划的详细解释：

核心定义与数学形式
- 一个标准的凸规划问题可表述为： $$ begin{array}{ll} underset{mathbf{x}}{text{minimize}} & f_0(mathbf{x}) text{subject to} & f_i(mathbf{x}) leq 0, quad i = 1, dots, m & mathbf{a}_j^T mathbf{x} = b_j, quad j = 1, dots, p end{array} $$
- 其中：
  - (mathbf{x} in mathbb{R}^n) 是优化变量。
  - (f_0: mathbb{R}^n to mathbb{R}) 是凸函数（目标函数）。
  - (f_i: mathbb{R}^n to mathbb{R}) 是凸函数（不等式约束函数）。
  - (mathbf{a}_j^T mathbf{x} = b_j) 是仿射函数（等式约束）。
- 关键点在于：目标函数 (f_0) 和所有不等式约束函数 (f_i) 都必须是凸函数，且等式约束必须是仿射的（线性）。这些条件共同保证了可行域（所有满足约束的 (mathbf{x}) 的集合）是一个凸集（即集合中任意两点间的线段仍包含在该集合内，无凹陷）。
关键性质
- 全局最优性：凸规划问题最显著的优点是，任何局部最优解同时也是全局最优解。这意味着一旦找到一个解满足局部最优条件（例如梯度为零或满足KKT条件），就可以确信它是整个问题的最佳解，无需担心陷入次优的局部极小值点。这一性质极大地简化了求解过程。
- 高效可解性：存在多种高效且可靠的算法可以求解凸规划问题，例如：
  - 内点法：特别适用于大规模凸优化问题，具有良好的理论复杂度和实际性能。
  - 梯度下降法及其变种：对于无约束或简单约束的凸问题非常有效。
  - 次梯度法：可处理不可微（但仍是凸）的目标函数。
  - 交替方向乘子法：适用于可分解的大规模问题。
- 对偶性：凸规划通常具有强对偶性，即原问题的最优值等于其对偶问题的最优值（在满足某些约束规范下）。这为求解和理解问题提供了另一个有力的工具和视角。
凸函数与凸集
- 凸函数：函数 (f: mathbb{R}^n to mathbb{R}) 是凸的，当且仅当其定义域是凸集，且对于定义域内任意两点 (mathbf{x}, mathbf{y}) 和任意 (theta in [0, 1])，满足 Jensen 不等式： $$ f(theta mathbf{x} + (1-theta)mathbf{y}) leq theta f(mathbf{x}) + (1-theta)f(mathbf{y}) $$ 直观上，这意味着函数图像上任意两点间的线段位于图像上方或之上（无凹陷）。常见的凸函数包括：线性函数、二次函数（若其Hessian矩阵半正定）、指数函数、范数等。
- 凸集：集合 (C subseteq mathbb{R}^n) 是凸集，当且仅当对于任意 (mathbf{x}, mathbf{y} in C) 和任意 (theta in [0, 1])，点 (theta mathbf{x} + (1-theta)mathbf{y}) 也属于 (C)。常见的凸集包括：超平面、半空间、多面体、球体、椭球等。
应用领域凸规划的应用极其广泛，例如：
- 工程优化：电路设计、结构优化、资源分配、信号处理中的滤波器设计。
- 机器学习：支持向量机（SVM）的训练、逻辑回归的参数估计、Lasso回归、矩阵补全问题。
- 控制理论：线性二次调节器（LQR）、模型预测控制（MPC）。
- 经济学与金融：投资组合优化（在特定模型下）、供需平衡问题。
- 运筹学：网络流问题（可表述为线性规划，是凸规划的子集）、设施选址问题（某些形式）。

权威参考来源：

斯坦福大学Stephen Boyd教授及其合著者的经典教材《Convex Optimization》被广泛认为是该领域的权威著作，对凸规划的定义、理论和算法进行了系统深入的阐述。该书在线版本和课程资料可在斯坦福大学相关页面获取（Stephen Boyd教授的主页通常提供链接）。
维基百科的“Convex Optimization”词条提供了关于凸规划的标准定义、基本性质和概述。维基百科的数学类条目通常经过较严格的编辑审核，具有较高的参考价值。
IEEE等专业协会的期刊和会议论文大量应用凸规划解决工程实际问题，例如在信号处理（IEEE Transactions on Signal Processing）、控制系统（IEEE Transactions on Automatic Control）等领域的研究，这些应用实例体现了凸规划在工程实践中的权威性和有效性。

网络扩展资料

凸规划（Convex Programming）是数学优化领域中的一类重要问题，其核心特征在于目标函数和约束条件均为凸性质。以下从定义、特点、应用等方面详细解释：

1.基本定义

凸规划问题可形式化表示为： $$ begin{aligned} min_{mathbf{x}} quad & f(mathbf{x}) text{s.t.} quad & g_i(mathbf{x}) leq 0 quad (i=1, dots, m) & h_j(mathbf{x}) = 0 quad (j=1, dots, p) end{aligned} $$ 其中：

目标函数 ( f(mathbf{x}) ) 是凸函数；
不等式约束 ( g_i(mathbf{x}) ) 是凸函数；
等式约束 ( h_j(mathbf{x}) ) 是仿射函数（形如 ( mathbf{a}^Tmathbf{x} + b ) 的线性函数）。

可行域（所有满足约束的 (mathbf{x}) 的集合）是凸集。

2.核心特点

全局最优性：任何局部最优解自动成为全局最优解，避免了复杂搜索。
高效求解：存在多项式时间算法（如内点法、梯度下降法），尤其适合大规模问题。
对偶性：强对偶性通常成立，原问题与对偶问题的最优值相等，便于理论分析和算法设计。

3.常见类型

线性规划（LP）：目标函数和约束均为线性，是凸规划的特例。
二次规划（QP）：目标函数为凸二次函数，约束为线性。
半定规划（SDP）：涉及半正定矩阵约束，广泛用于控制论和组合优化。

4.应用领域

机器学习：支持向量机（SVM）、正则化模型（如Lasso）的优化；
信号处理：压缩感知、滤波器设计；
经济学：资源分配、风险最小化；
工程：电路设计、结构优化。

5.与非凸优化的区别

非凸优化问题可能存在多个局部最优解，且求解难度大（如神经网络训练）。而凸规划通过理论保证简化了求解过程，成为实际应用中优先考虑的形式。

凸规划因其数学性质的优势，成为优化理论和实践的核心工具。尽管实际应用中需将问题转化为凸形式（可能需近似或松弛），但其高效性和可靠性使其在科学和工程领域不可或缺。

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