antiderivative是什么意思，antiderivative的意思翻译、用法、同义词、例句

antiderivative英标

英:/',æntɪdɪ'rɪvətɪv/

常用词典

例句

同义词

专业解析

在微积分学中，“antiderivative”（反导数）是一个核心概念，指对于给定函数( f(x) )，若存在一个可导函数( F(x) )，使得其导数满足( F'(x) = f(x) )，则称( F(x) )为( f(x) )的反导数。例如，若( f(x) = 2x )，则其反导数为( F(x) = x + C )，其中( C )为任意常数。

反导数的关键特性包括：

1. 存在性：根据微积分基本定理，连续函数必存在反导数，但某些函数的反导数无法用初等函数表示，如( e^{-x} )。
2. 不定积分：求反导数的过程称为不定积分，其结果是一个函数族，形式为( F(x) + C )。
3. 应用：反导数是计算定积分的基础，通过牛顿-莱布尼茨公式可将定积分转化为反导数的差值。

权威数学教材如《托马斯微积分》（第12版）和Stewart的《Calculus》均对此概念进行了系统阐述。此外，MIT开放课程和Khan Academy的微积分专题也提供了详细的教学资源。

网络扩展资料

在微积分中，antiderivative（原函数/不定积分）是指一个函数 ( F(x) )，其导数为给定的函数 ( f(x) )，即满足： $$ F'(x) = f(x) $$ 或等价地： $$ int f(x) , dx = F(x) + C $$ 其中 ( C ) 为任意常数，称为积分常数。

核心要点：

1. 定义
   若 ( F(x) ) 的导数是 ( f(x) )，则 ( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的一个原函数。例如：

   • ( f(x) = 2x ) 的原函数为 ( F(x) = x + C )，因为 ( frac{d}{dx}(x + C) = 2x )。

2. 不定积分与原函数的关系
   求原函数的过程称为不定积分，符号 ( int f(x) , dx ) 表示所有可能的原函数集合。例如： $$ int cos x , dx = sin x + C $$

3. 唯一性与常数项
   原函数不唯一，任意两个原函数之间仅相差一个常数。例如，( x + 5 ) 和 ( x - 3 ) 均为 ( 2x ) 的原函数。

4. 应用
   原函数是计算定积分的基础。通过牛顿-莱布尼茨公式： $$ int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) $$ 可将定积分转化为原函数在区间端点的差值。

示例：

• 若 ( f(x) = 3x )，则其原函数为 ( F(x) = x + C )。
• 若 ( f(x) = frac{1}{x} )，则原函数为 ( F(x) = ln|x| + C )（定义域为 ( x eq 0 )）。

注意：

原函数存在的条件是 ( f(x) ) 在区间上连续（根据微积分基本定理）。若函数不连续或存在间断点，原函数可能不存在或需要分段处理。

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