等比數列的意思、等比數列的詳細解釋
等比數列的解釋
數學用語。從第二項始，以下任一項與前一項的比恒等的數列，如1，2，4，8……。
詞語分解
- 等比的解釋 .同輩；同列。《漢書·元後傳》：“太後憐弟 曼 蚤死，獨不封， 曼 ****** 渠 供養東宮，子 莽 幼孤，不及等比，常以為語。”《後漢書·賈複傳》：“﹝ 賈復 ﹞為縣掾，迎鹽 河 東，會遇盜賊，等比十餘人
- 數列的解釋 依照某種法則排列的一列數。如：、、、……；、、、……等。數列分有限數列和無限數列兩種。
網絡擴展解釋
等比數列是數學中一種常見的數列類型，其核心特征是每一項與前一項的比值保持恒定，這個固定的比值稱為公比。以下是詳細解釋：
1. 定義
- 等比數列（幾何數列）：從第二項起，每一項與前一項的比值都等于同一個非零常數（公比 ( r )）。
- 示例：
- ( 2, 4, 8, 16, ldots )（公比 ( r = 2 )）
- ( 9, -3, 1, -frac{1}{3}, ldots )（公比 ( r = -frac{1}{3} )）
2. 通項公式
- 若首項為 ( a_1 )，公比為 ( r )，則第 ( n ) 項為：
$$
a_n = a_1 cdot r^{n-1}
$$
- 推導邏輯：通過遞推關系 ( a{n} = a{n-1} cdot r )，逐項展開即得。
3. 求和公式
- 前 ( n ) 項和：
- 當 ( r
eq 1 ) 時：
$$
S_n = a_1 cdot frac{r^n - 1}{r - 1} quad text{或} quad S_n = a_1 cdot frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
- 當 ( r = 1 ) 時：( S_n = a_1 cdot n )（所有項相同）。
- 無窮等比級數（僅當 ( |r| < 1 ) 時收斂）：
$$
S_{infty} = frac{a_1}{1 - r}
$$
4. 重要性質
- 等比中項：若 ( a, b, c ) 成等比數列，則 ( b = a cdot c )。
- 公比的正負影響：
- ( r > 0 ) 時，數列符號不變；
- ( r < 0 ) 時，數列符號交替變化。
- 單調性：
- ( |r| > 1 ) 時，數列絕對值遞增；
- ( |r| < 1 ) 時，絕對值遞減。
5. 應用場景
- 複利計算：本金按固定利率增長（如年利率 5% 的存款）。
- 人口模型：假設人口以固定比率增長時的預測。
- 物理與工程：如電阻網絡的分壓計算、放射性物質的半衰期。
6. 注意事項
- 公比 ( r
eq 0 )，否則數列從第二項起全為 0。
- 首項 ( a_1 ) 可為正數、負數或零（但若 ( a_1 = 0 )，整個數列均為零）。
通過以上内容，可以系統地理解等比數列的定義、公式和應用。如需具體例題或進一步擴展，可結合實際問題深入探讨。
網絡擴展解釋二
等比數列
等比數列是指兩個相鄰的數之比相等的數列，其中等比數列的常數比叫作公比。例如，1, 2, 4, 8, 16就是一個等比數列，公比為2。
拆分部首和筆畫
等比數列一共由2個漢字組成，分别是“等”和“比”。其中，“等”字的拆分部首是“⺉（豎心）”，共有3劃，“比”字的拆分部首是“⺁（衣字底）”，共有4劃。
來源和繁體
“等比數列”一詞來源于數學，最早出現在中國的數學文獻中。對應的繁體字為「等比數列」。
古時候漢字寫法
在古代漢字寫法中，字形會有一些差異。例如，古時候漢字“比”的寫法為“匕而二”，與現代字形有所不同。
例句
在數學課上，老師給出了一個等比數列的問題：“請問下一個數是多少？”
組詞
等差數列、等差中項、等邊三角形、等周線、比例、比例尺
近義詞
等比級數、等比數、幾何數列
反義詞
等差數列、算數數列
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