複值函數英文解釋翻譯、複值函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex function

分詞翻譯：

複的英語翻譯：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; re-

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

複值函數（Complex-Valued Function）是數學分析中的重要概念，指值域為複數集的函數。其定義可表述為：

設 ( D ) 是定義域（通常為實數集 (mathbb{R}) 的子集或複數集 (mathbb{C}) 的子集），若對于 ( D ) 中的每一個元素 ( x )，都存在唯一的複數 ( z ) 與之對應，則稱該對應關系為定義在 ( D ) 上的複值函數，記作： [ f: D to mathbb{C}, quad x mapsto f(x) = u(x) + i v(x) ] 其中 ( u(x) ) 和 ( v(x) ) 均為實值函數，分别表示複函數 ( f(x) ) 的實部（Real Part）和虛部（Imaginary Part），( i ) 為虛數單位（滿足 ( i = -1 )）。

核心特征與解釋

1. 函數值的複數屬性

   複值函數的輸出結果是一個複數，形式為 ( a + bi )（( a, b in mathbb{R} ))。例如：

   • ( f(x) = e^{ix} = cos x + i sin x )（歐拉公式）
   • ( g(z) = z )（定義域可為複數域）

2. 實部與虛部的分離性

   任何複值函數均可分解為兩個實值函數的組合： [ f(x) = u(x) + i v(x) ] 其中 ( u(x) = operatorname{Re}(f(x)) )，( v(x) = operatorname{Im}(f(x)) )。這一特性将複函數分析轉化為實函數的聯合研究。

3. 應用領域

   複值函數在以下領域具有關鍵作用：

   • 信號處理：傅裡葉變換利用複指數函數表示頻率分量。
   • 量子力學：波函數為複值函數，模平方代表概率密度。
   • 電磁學：複數形式簡化交流電路與電磁波的建模。

與實值函數的區别

典型示例

• 指數函數：( f(x) = e^{(a+bi)x} = e^{ax} (cos bx + i sin bx) )
• 多項式函數：( p(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + cdots + c_0 )（( z in mathbb{C} ))

權威參考來源

1. 《數學分析》（華東師範大學數學系編）：定義複值函數的基本形式與分解方法。
2. Stein, E. M., & Shakarchi, R. Complex Analysis（普林斯頓大學出版社）：深入探讨複函數的微積分性質。
3. Oppenheim, A. V., & Willsky, A. S. Signals and Systems（Prentice Hall）：展示複指數函數在工程中的應用實例。

網絡擴展解釋

複值函數是指定義域為實數集或複數集，而值域為複數集的函數。其核心特征在于函數的輸出值為複數，一般形式可表示為： $$ f(z) = u(z) + i v(z) $$ 其中 ( z ) 是自變量（實數或複數），( u(z) ) 和 ( v(z) ) 是實值函數，( i ) 為虛數單位（滿足 ( i = -1 )）。

關鍵特性與解釋

1. 實部與虛部分解
   任何複值函數均可拆分為兩個實值函數的組合：實部 ( u(z) ) 和虛部 ( v(z) )。例如，複指數函數 ( e^{itheta} = costheta + isintheta )，其實部為 ( costheta )，虛部為 ( sintheta )。

2. 定義域類型

   • 實變量複值函數：自變量為實數（如 ( f(t) = e^{it} ) 用于描述簡諧振動）。
   • 複變量複值函數：自變量為複數（如 ( f(z) = z ) 在複分析中研究）。

3. 幾何意義
   複值函數可視為從平面（實軸或複平面）到複平面的映射。例如，( f(z) = z ) 将複平面上的點 ( z = x + iy ) 映射到 ( (x - y) + i(2xy) )。

4. 應用領域

   • 信號處理：用複函數表示相位和頻率（如傅裡葉變換）。
   • 量子力學：波函數是複值函數，模長平方代表概率密度。
   • 電磁學：複數形式簡化交流電路分析。

與實值函數的區别

• 維度擴展：複值函數需同時處理實虛兩部分，相當于二維實函數的聯合。
• 解析性要求：複可微需滿足柯西-黎曼方程（如 ( frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y} )），條件比實可微更嚴格。

通過上述分解和分析，複值函數在數學和工程中提供了更豐富的工具，尤其在涉及相位、旋轉或多維變化的場景中不可或缺。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

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