複對數英文解釋翻譯、複對數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex logarithm

分詞翻譯：

複對的英語翻譯：

【電】 twisted pair

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

複對數（Complex Logarithm）是複數域中對數函數的擴展形式。在漢英詞典中，其定義為“将實數對數函數推廣到複數域的一種多值函數”，對應英文術語為"complex logarithm"。其核心數學表達式為：

$$ ln(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2kpi) quad (k in mathbb{Z}) $$

其中，$z$為複數，$arg(z)$表示複數$z$的輻角，$k$為整數，體現了複對數的多值性。主值（Principal Value）通常取$k=0$且$arg(z) in (-pi, pi]$，對應單值分支。

複對數與實對數的本質區别在于其輻角的多值性，這一特性在複分析、電磁場理論及信號處理等領域有重要應用。例如，在拉普拉斯變換中，複對數用于描述複數域的指數關系。其嚴格定義可參考《數學分析教程》（高等教育出版社，2020），實際工程應用案例見《工程數學：複變函數》（機械工業出版社，2018）。

網絡擴展解釋

複對數（Complex Logarithm）是複數域中對數函數的擴展，其定義和特性與實數對數有顯著區别，主要體現在多值性和定義域的擴展上。以下是詳細解釋：

1.基本定義

複對數是對數函數在複數域中的推廣。對于非零複數 ( z in mathbb{C} setminus {0} )，可表示為極坐标形式： $$ z = r e^{itheta} quad (r>0, , theta in mathbb{R}) $$ 複對數定義為： $$ ln z = ln r + i(theta + 2kpi) quad (k in mathbb{Z}) $$ 其中：

( ln r ) 是實部，對應模長的自然對數；
( theta + 2kpi ) 是虛部，對應輻角的無窮多可能性（即多值性）。

2.多值性

複對數的核心特性是多值性，即每個複數 ( z ) 對應無限多個對數值，原因在于：

複數的輻角 ( theta ) 可以相差 ( 2pi ) 的整數倍，而指數函數 ( e^{itheta} ) 的周期性導緻不同的 ( theta ) 可能對應同一個複數 ( z )。
例如，( z = 1 ) 時，複對數可能為 ( 0, , 2pi i, , -2pi i ) 等。

3.主值（Principal Value）

為簡化計算，通常定義主值（單值分支）：

限制輻角 ( theta ) 在 ( (-pi, pi] ) 或 ( [0, 2pi) ) 範圍内；
主值複對數表示為： $$ text{Log}, z = ln r + itheta quad (-pi < theta leq pi) $$ 此時複對數在複平面除負實軸（分支切割）外解析。

4.與實數對數的區别

定義域：實數對數僅定義在正實數，複對數擴展到所有非零複數。
單值性：實數對數是單值函數，複對數因輻角多值性而有無窮多結果。
幾何意義：複對數将複平面映射到帶有螺旋結構的黎曼面上。

5.應用與注意事項

複分析：用于研究複變函數的積分、留數等。
工程與物理：處理交流電路、波動方程中的相位問題。
多值性問題：實際應用中需通過限制輻角範圍或使用黎曼面來規避矛盾。

總結來說，複對數通過引入多值性擴展了對數函數的適用範圍，但也帶來了分支和解析性上的複雜性。