内積英文解釋翻譯、内積的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯:
【計】 inner product; scalar product
分詞翻譯:
内的英語翻譯:
inner; inside; within
【醫】 end-; endo-; ento-; in-; intra-
積的英語翻譯:
accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product
專業解析
在數學領域,内積(Inner Product) 是一個核心概念,它推廣了向量點積的概念,為向量空間賦予幾何結構。以下是其詳細解釋:
一、基本定義
内積是定義在向量空間上的二元函數,滿足以下公理:
- 共轭對稱性:$langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = overline{langle mathbf{v}, mathbf{u} rangle}$(實數域中簡化為對稱性)
- 線性性:$langle amathbf{u} + bmathbf{v}, mathbf{w} rangle = alangle mathbf{u}, mathbf{w} rangle + blangle mathbf{v}, mathbf{w} rangle$
- 正定性:$langle mathbf{u}, mathbf{u} rangle geq 0$ 且等于零當且僅當 $mathbf{u} = mathbf{0}$
二、關鍵性質與應用
-
模長與夾角
向量 $mathbf{u}$ 的模長為 $|mathbf{u}| = sqrt{langle mathbf{u}, mathbf{u} rangle}$,兩向量夾角 $theta$ 滿足:
$$cos theta = frac{langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle}{|mathbf{u}| |mathbf{v}|}$$
例如在 $mathbb{R}^n$ 空間,标準内積定義為 $langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = sum_{i=1}^n u_i v_i$。
-
正交性
若 $langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = 0$,則稱向量正交。該性質是傅裡葉分析、信號處理中基函數構造的基礎。
-
泛函分析擴展
在希爾伯特空間(如$L$函數空間),内積定義為:
$$langle f, g rangle = int_a^b f(x) overline{g(x)} , dx$$
支撐了量子力學中的波函數理論。
三、中英術語對照
- 中文:内積(nèi jī)
- 英文:Inner Product(亦稱 Dot Product 或 Scalar Product 于歐氏空間)
四、典型實例
- 歐氏空間:$langle (1,2), (3,4) rangle = 1times3 + 2times4 = 11$
- 複向量空間:$langle (1+i, 2), (3, 4i) rangle = (1-i)times3 + 2times(-4i) = 3-3i-8i$
參考文獻
- Axler, S. Linear Algebra Done Right. Springer. (标準教材定義)
- 中科院數學研究所.《數學名詞》. 科學出版社. (中英術語規範)
- Reed, M. & Simon, B. Functional Analysis. Academic Press. (希爾伯特空間内積)
網絡擴展解釋
内積是線性代數中的核心概念,指在向量空間中定義的一種特殊運算,用于衡量兩個向量的幾何關系和代數性質。以下是詳細解釋:
一、數學定義
對兩個n維實向量$mathbf{a}=(a_1,a_2,...,a_n)$和$mathbf{b}=(b_1,b_2,...,bn)$,其内積定義為:
$$
mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^n a_ib_i
$$
在幾何中可表示為:
$$
mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta
$$
其中$theta$是向量夾角,$|mathbf{a}|$表示向量長度。
二、核心性質
- 對稱性:$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$
- 線性性:$(alphamathbf{a}+betamathbf{b}) cdot mathbf{c} = alpha(mathbf{a}cdotmathbf{c}) + beta(mathbf{b}cdotmathbf{c})$
- 正定性:$mathbf{a} cdot mathbf{a} geq 0$,且等于0當且僅當$mathbf{a}=mathbf{0}$
三、幾何意義
- 模長計算:$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$
- 夾角判定:$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}||mathbf{b}|}$
- 正交性檢驗:當内積為0時,兩向量垂直
四、應用領域
- 物理學:計算功($W = mathbf{F} cdot mathbf{d}$)
- 計算機圖形學:光照模型中的法向量計算
- 機器學習:核方法、相似度計算
- 信號處理:相關分析
五、擴展形式
在複向量空間中,内積定義為$mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^n a_ioverline{b_i}$(含複共轭運算)。函數空間中的内積可表示為積分形式:
$$
langle f,g rangle = int_a^b f(x)g(x)dx
$$
示例:向量$mathbf{a}=(2,3)$與$mathbf{b}=(4,-1)$的内積為:
$$
2×4 + 3×(-1) = 8-3 = 5
$$
内積空間是歐幾裡得空間到無限維空間的推廣,為希爾伯特空間理論奠定基礎。這個運算将幾何直觀與代數計算完美結合,是現代數學和工程應用的重要工具。
分類
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