模數代數英文解釋翻譯、模數代數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 modular algebra
【經】 modular algebra

分詞翻譯：

模數的英語翻譯：

modulus
【機】 module

代的英語翻譯：

era; generation; take the place of
【電】 generation

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

模數代數是數學中基于同餘關系的代數系統，其核心概念源于模運算（modular arithmetic）。該術語在漢英詞典中通常對應"modular algebra"或"modulo algebra"，指代整數環$mathbb{Z}_n$上的運算規則，其中$n$為模數。其數學表達式可表示為： $$ a equiv b pmod{n} $$ 當且僅當$n$整除$(a - b)$時成立。

在工程領域，模數代數延伸應用于信號處理中的模數轉換理論，通過量化連續信號為離散值實現數字化表達，這種映射關系符合$mathbb{Z}_{2^n}$的數學結構。密碼學中的RSA算法也依賴于模數代數的幂運算性質，其安全性建立在$mathbb{Z}_n^*$乘法群的離散對數難題之上。

該理論體系包含以下核心要素：

同餘類劃分：将整數集劃分為$n$個等價類
運算封閉性：加法/乘法在模數體系下保持閉合
逆元存在性：當且僅當元素與模數互質時存在乘法逆元
循環群結構：$mathbb{Z}_n$在加法運算下構成有限循環群

劍橋大學數學系的研究表明，模數代數的拓撲性質對編碼理論中的循環碼構造具有指導意義，其生成多項式需滿足模$x^n-1$的代數約束條件。

網絡擴展解釋

以下是對“模數”和“代數”的詳細解釋：

一、模數

模數（Modulus）在不同數學和工程領域中有多種含義：

取餘運算中的除數
在數論和編程中，模數指取餘運算的除數，表示為 a mod n，結果為 a 除以 n 的餘數。例如，7 mod 3 = 1。此運算常用于判斷奇偶性、循環計數等場景。
複數的模
複數 z = a + bi 的模定義為實部與虛部平方平方根，即： $$ |z| = sqrt{a + b} $$ 它表示複數在複平面上的距離。
其他領域應用
- 數論：用于分解質因數、檢測素數（如RSA加密算法）。
- 工程：如齒輪設計中的“模數”指齒輪尺寸基準，建築學中為标準化尺寸單位。

二、代數

代數（Algebra）是數學的重要分支，核心内容包括：

研究對象
研究數、符號、方程及結構（如群、環、域）的抽象關系，而非具體數值本身。
核心思想
- 用字母（變量）代替未知數，建立方程并求解。
- 探索運算規律（如加法、乘法的交換律、結合律）。
分支領域
包括初等代數（中學課程）、線性代數（向量空間）、抽象代數（群論）等。

三、模數與代數的聯繫

在代數領域中，模數常用于：

數論算法：如模運算在群論、密碼學中的應用。
結構分析：模運算幫助研究環、域等代數結構的性質。

如需更深入的信息，可參考數學教材或專業文獻。