面積坐标英文解釋翻譯、面積坐标的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 area coordinate

分詞翻譯：

面的英語翻譯：

face; surface; cover; directly; range; scale; side
【醫】 face; facies; facio-; prosopo-; surface

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

坐标的英語翻譯：

coordinate
【電】 coordinates; frame of reference

專業解析

面積坐标（Area Coordinates）是幾何學中用于描述平面内點位置的參數坐标系，常用于三角形網格分析和有限元方法。其核心原理是将點的位置與三角形三個頂點形成的子面積比例相關聯，具有明确的數學定義和工程應用價值。

一、定義與數學表達

面積坐标系統以三角形ABC為基準，定義任意點P的坐标$(L_1,L_2,L_3)$滿足：

$$ L1 = frac{S{PBC}}{S_{ABC}},quad

L2 = frac{S{PCA}}{S_{ABC}},quad

L3 = frac{S{PAB}}{S_{ABC}}

其中$S$表示三角形面積，且滿足歸一化條件$L_1+L_2+L_3=1$。該坐标系也被稱為自然坐标或重心坐标。

二、核心特性

幾何直觀性：坐标值直接反映點與各頂點的位置關系，例如$L_1=1$時點P與頂點A重合。
無量綱化：坐标值均為0-1的純數，便于工程計算中的标準化處理。
邊界描述：當某坐标值為0時，點位于對應頂點的對邊上。

三、應用領域

有限元分析：用于構造三角形單元的形函數（Shape Functions）。
計算機圖形學：實現紋理映射和光照計算的坐标插值。
地質勘探：在非規則網格中定位采樣點位置。

四、與笛卡爾坐标的轉換

對頂點坐标為$(x_A,y_A)$、$(x_B,y_B)$、$(x_C,y_C)$的三角形，存在雙向轉換關系：

$$ x = L_1x_A + L_2x_B + L_3x_C y = L_1y_A + L_2y_B + L_3y_C $$

該線性關系保證了坐标系的仿射不變性。

參考文獻

《有限元方法基礎》（科學出版社）
《計算幾何算法與應用》（清華大學出版社）
國際工程數學學會(IMACS)坐标系統技術報告

網絡擴展解釋

面積坐标是一種用于描述平面内點位置的局部坐标系，尤其在三角形單元分析中應用廣泛。以下是其詳細解釋：

一、定義與核心概念

幾何定義
面積坐标通過三個小三角形面積與原三角形面積的比值來确定點的位置。在任意三角形單元中，一點P與三個頂點相連形成三個子三角形（如圖），其面積坐标記為( L_i, L_j, L_m )，滿足： $$ Li = frac{S{△Pjm}}{S_{△ijm}}, quad Lj = frac{S{△Pmi}}{S_{△ijm}}, quad Lm = frac{S{△Pij}}{S{△ijm}} $$ 其中( S{△ijm} )為原三角形面積，三個坐标滿足( L_i + L_j + L_m = 1 )。
齊次坐标特性
面積坐标屬于齊次坐标，同一位置可表示為不同比例（如( (1:0:0) )或( (2:0:0) )），但規範面積坐标需滿足( L_i + L_j + L_m = 1 )。

二、性質與特點

局部性
僅適用于當前三角形單元，外部無定義，而直角坐标（整體坐标）適用于整個結構。
邊界與頂點特性

頂點i的坐标為( (1,0,0) )，邊jm上點的( L_i=0 )。
三角形内部點滿足所有坐标值在(0,1)區間，邊或頂點處至少一個坐标為0或1。

三、應用場景

有限元分析
常用于構造三角形單元的插值函數，簡化剛度矩陣積分運算。
幾何計算
通過面積坐标可直接判斷點與三角形的位置關系（如重心、垂心等特殊點）。

四、與直角坐标的轉換

若原三角形頂點直角坐标為( (x_i,y_i), (x_j,y_j), (x_m,y_m) )，則面積坐标與直角坐标的轉換關系為： $$ x = L_i x_i + L_j x_j + L_m x_m y = L_i y_i + L_j y_j + L_m y_m $$ 微分運算也通過鍊式法則實現。

擴展閱讀：面積坐标與自然坐标概念重疊，更多技術細節可參考有限元分析相關文獻。