漸近線的英文解釋翻譯、漸近線的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【醫】 asymptotic

asymptote
【電】 asymptote

在數學分析中，漸近線（Asymptote）指的是一條直線，當平面曲線上的動點沿曲線無限遠離原點時，該點與這條直線的距離趨于零。它描述了函數圖像在自變量趨向無窮大或特定點時無限逼近的直線。以下是詳細解釋：

幾何意義
當曲線 ( y = f(x) ) 上的點沿曲線無限延伸時，若其與某直線 ( L ) 的距離無限趨近于零，則稱 ( L ) 為該曲線的漸近線。例如，雙曲線 ( frac{x}{a} - frac{y}{b} = 1 ) 有兩條漸近線 ( y = pm frac{b}{a}x )。
函數極限定義
- 水平漸近線：若 ( lim{x to infty} f(x) = b ) 或 ( lim{x to -infty} f(x) = b )，則直線 ( y = b ) 是水平漸近線。
- 垂直漸近線：若 ( lim_{x to c} f(x) = infty )（或 ( -infty )），則直線 ( x = c ) 是垂直漸近線。
- 斜漸近線：若 ( lim_{x to infty} [f(x) - (mx + c)] = 0 )，則直線 ( y = mx + c ) 是斜漸近線（( m eq 0 )）。

水平漸近線
通過計算函數在無窮遠處的極限确定。例如，( f(x) = frac{2x}{x+1} ) 滿足 ( lim_{x to infty} f(x) = 2 )，故 ( y = 2 ) 是水平漸近線（來源：James Stewart, Calculus）。
垂直漸近線
需考察函數在定義域間斷點的極限。如 ( f(x) = frac{1}{x-3} ) 在 ( x=3 ) 處極限為無窮，故 ( x=3 ) 是垂直漸近線（來源：Khan Academy）。
斜漸近線
計算步驟：
- 求斜率 ( m = lim_{x to infty} frac{f(x)}{x} )；
- 求截距 ( c = lim_{x to infty} [f(x) - mx] )。
  例如，( f(x) = frac{x+1}{x} ) 的斜漸近線為 ( y = x )（來源：MIT OpenCourseWare）。

漸近線在描述自然現象（如阻尼振動振幅衰減）、工程模型（如電路響應曲線）及經濟學（長期市場均衡）中均有應用。例如，指數衰減函數 ( y = e^{-x} ) 以 ( x )-軸（( y=0 )）為水平漸近線（來源：Wolfram MathWorld）。

英文定義：
Cambridge Dictionary of Mathematics 描述為 "a line approached by a curve as the distance from the origin increases indefinitely"。

漸近線是數學中描述曲線無限趨近但不相交的直線的概念，常見于函數圖像分析。以下是詳細解釋：

漸近線指當曲線上的動點沿曲線無限遠離原點時，曲線與該直線無限接近且距離趨于零的直線。雖然曲線可能在有限範圍内與漸近線相交，但在無限遠處永不相交。

水平漸近線（如 $y = c$）
當 $lim_{x to pminfty} f(x) = c$ 時存在。例如，$y=0$ 是 $f(x) = frac{1}{x}$ 的水平漸近線。
垂直漸近線（如 $x = a$）
當 $lim_{x to a} f(x) = pminfty$ 時存在。例如，$x=0$ 是 $f(x) = ln x$ 的垂直漸近線。
斜漸近線（如 $y = kx + b$）
當 $lim{x to pminfty} [f(x) - (kx + b)] = 0$ 時存在，其中 $k = lim{x to infty} frac{f(x)}{x}$，$b = lim_{x to infty} [f(x) - kx]$。例如，$y=x$ 是 $f(x) = x + frac{1}{x}$ 的斜漸近線。

漸近線用于簡化複雜曲線的形狀分析，尤其在微積分中輔助計算極限、繪制函數圖像，并在工程建模（如橋梁受力分析）和物理光學（如光線路徑近似）中提供近似依據。

通過理解漸近線，可以更直觀地把握函數在無窮遠處的行為特征。