本征函數英文解釋翻譯、本征函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 characteristic function; eigenfunction

分詞翻譯：

本的英語翻譯：

the root of a plant; this
【機】 aetioporphyrin

征的英語翻譯：

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【醫】 sign; signe; signum

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

本征函數（eigenfunction）是數學和物理學中一個核心概念，特指在特定線性算子作用下僅被标量（本征值）縮放而不改變方向的函數。其定義可表述為：若存線上性算子 (hat{L}) 和标量 (lambda)，使得函數 (psi) 滿足方程：

$$ hat{L} psi = lambda psi $$

則稱 (psi) 為算子 (hat{L}) 的本征函數，(lambda) 為其對應的本征值。

核心特征與應用場景

數學基礎
在微分方程理論中，本征函數是求解線性微分方程的關鍵工具。例如，在分離變量法中，形如 (frac{d y}{dx} + k y = 0) 的方程解 (sin(kx)) 或 (cos(kx)) 即為本征函數，其本征值為 (-k)。此類函數構成完備正交基，廣泛用于傅裡葉級數展開。
量子力學核心
在量子力學中，物理系統的可觀測量（如能量、動量）由厄米算子表示。薛定谔方程 (hat{H} psi = E psi) 的解即為能量本征函數，其中 (hat{H}) 為哈密頓算子，(E) 為能級。例如，一維無限深勢阱中粒子的波函數 (psi_n(x) = sqrt{frac{2}{L}} sinleft(frac{npi x}{L}right)) 對應本征值 (E_n = frac{n pi hbar}{2mL})。
工程與信號處理
本征函數在振動分析（如弦振動模态）、電磁學（波導模式）及信號處理中具有實際意義。例如，在圖像處理中，PCA（主成分分析）利用數據協方差矩陣的本征向量（離散形式的本征函數）實現降維。

術語對照與詞源

漢英對照：本征函數（eigenfunction），其中“本征”源于德語 eigen（意為“自身的”），強調函數在算子作用下的内在不變性。
相關術語：本征值（eigenvalue）、本征态（eigenstate）、本征向量（eigenvector）。

權威參考文獻

數學物理方法經典教材
Arfken, G.B., Weber, H.J., & Harris, F.E. (2013). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. （涵蓋希爾伯特空間中的本征函數理論）

量子力學标準著作
Griffiths, D.J. & Schroeter, D.F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics. Cambridge University Press. （詳述本征函數在量子系統中的應用）

線性算子理論
Reed, M. & Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Academic Press. （嚴格定義算子譜與本征函數）

本征函數作為線性系統分析的基石，其普適性體現在從微分方程解析解到現代算法設計（如機器學習中的核方法）的廣泛領域。理解其數學本質及物理意義對深入掌握相關學科至關重要。

網絡擴展解釋

本征函數（Eigenfunction）是數學和物理學中一個核心概念，主要用于描述線性算子作用下的特殊函數形式。以下是分點解釋：

1.基本定義

當線性算子（如微分算子、積分算子）作用于某個函數時，若結果僅是該函數本身乘以一個常數，則稱該函數為算子的本征函數，對應的常數稱為本征值。數學表達式為： $$ hat{A} psi = lambda psi $$ 其中：

$hat{A}$ 是線性算子，
$psi$ 是本征函數，
$lambda$ 是本征值。

2.物理意義

在物理學中，本征函數描述了系統的特定狀态。例如：

量子力學：薛定谔方程 $hat{H}psi = Epsi$ 中，波函數 $psi$ 是哈密頓算符 $hat{H}$ 的本征函數，對應能量本征值 $E$（）。
振動分析：弦的振動模式（如駐波）是空間算符的本征函數，對應頻率本征值。

3.關鍵性質

正交性：不同本征值對應的本征函數在特定内積下正交，例如傅裡葉級數中的正弦函數。
完備性：一組本征函數可構成函數空間的基，用于展開任意函數（如信號分解）。

4.典型例子

微分算子：$frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}$，其中 $e^{kx}$ 是微分算子的本征函數，本征值為 $k$。
量子諧振子：波函數為厄米多項式與高斯函數的乘積，對應離散能量本征值（）。

5.應用領域

量子力學：求解粒子狀态和能級。
工程學：分析機械振動、電磁場分布。
信號處理：傅裡葉變換利用正弦函數作為微分算子的本征函數分解信號。

通過本征函數，我們能夠将複雜系統簡化為獨立模态的疊加，這一思想貫穿于現代科學與工程的核心模型。