規範正交函數英文解釋翻譯、規範正交函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 orthonormal function

分詞翻譯：

規範的英語翻譯：

norm; standard
【計】 convertion; specification
【醫】 Cannon; canon
【經】 norm

正交的英語翻譯：

【計】 quadrature
【醫】 orthogonality

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學和工程領域，規範正交函數（Orthonormal Functions）是指一組滿足特定内積條件的函數，兼具正交性（Orthogonality）和歸一性（Normalization）兩大核心特性。以下是詳細解釋：

一、核心定義

正交性 (Orthogonality)
兩個不同函數在定義區間 ([a, b]) 上的内積為零：

$$ langle f_m, f_n rangle = int_a^b f_m(x) f_n(x) , dx = 0 quad (m eq n) $$ 例如，三角函數系 ({sin(nx), cos(mx)}) 在 ([-pi, pi]) 上滿足正交性。
歸一性 (Normalization)
每個函數的模（範數）為 1：

$$ langle f_n, f_n rangle = int_a^b |f_n(x)| , dx = 1 $$ 歸一化通過将函數除以其範數實現（如 Hermite 多項式歸一化後）。

二、數學性質

完備性 (Completeness)
規範正交函數系若滿足完備性，則任意函數可在該基下展開為廣義傅裡葉級數：

$$ f(x) = sum_{n=0}^{infty} c_n phi_n(x), quad c_n = langle f, phi_n rangle $$ 例如傅裡葉級數中的複指數函數系 ({e^{i n x}}) 。
内積空間基底
在希爾伯特空間（如 (L[a,b])）中，規範正交函數系可構成标準正交基，用于信號分解與逼近。

三、典型應用

信號處理
傅裡葉變換利用正弦/餘弦函數的規範正交性分解信號頻譜，應用于通信系統濾波。

量子力學
波函數 (psi_n(x)) 的規範正交性保證量子态可疊加，如諧振子本征函數系。

數值計算
有限元方法采用規範正交多項式（如 Legendre 多項式）作為基函數求解微分方程。

權威參考來源：

網絡擴展解釋

規範正交函數是數學中函數空間的重要概念，結合正交性和歸一化條件，其核心定義和性質如下：

一、定義

規範正交函數集由一組函數構成，需滿足兩個條件：

正交性：任意兩個不同函數在指定區間内的内積為零。
數學表示為：$langle phi_m, phi_n rangle = int_a^b phi_m(x)phi_n(x)w(x)dx = 0$（當 $m eq n$ 時），其中 $w(x)$ 是權函數。
規範性：每個函數自身的範數為1，即 $langle phi_n, phi_n rangle = 1$。

二、與向量正交性的類比

向量類比：類似于三維空間中标準正交基（如$mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$），每個基向量長度為1且彼此垂直。
函數推廣：函數可視為無窮維向量，内積從向量點積推廣為積分形式，例如 $int_a^b f(x)g(x)dx$。

三、典型例子

三角函數集：${1, cos(nx), sin(nx)}$在區間$[-pi, pi]$上構成正交函數集，但需除以$sqrt{pi}$或$sqrt{2pi}$進行歸一化後成為規範正交。
Legendre多項式：在區間$[-1,1]$上滿足規範正交性，權函數$w(x)=1$。

四、應用場景

信號分解：傅裡葉變換中，信號可分解為規範正交的正弦/餘弦函數線性組合。
量子力學：波函數常表示為規範正交基的疊加，例如能量本征态。

五、與非規範正交的區别

若僅滿足正交性但未歸一化，則稱為正交函數集。規範正交集通過除以範數（如$|phi_n|=sqrt{langle phi_n, phi_n rangle}$）實現歸一化。

通過規範正交函數集，複雜的函數或信號可被高效分解和分析，這是泛函分析和工程數學的基礎工具之一。