矩陣定理英文解釋翻譯、矩陣定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix theorem

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

矩陣定理（Matrix Theorems）是線性代數中的核心理論體系，指一系列關于矩陣運算、性質及應用的數學定理。以下是基于漢英詞典視角的詳細解釋：

一、術語定義

中文：矩陣定理
英文：Matrix Theorems
數學定義：描述矩陣（由行和列構成的矩形數字陣列）在運算中遵循的普遍規律，涵蓋秩、特征值、行列式等關鍵屬性的性質。

二、核心定理分類

秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）
若 $mathbf{A}$ 是 $m times n$ 矩陣，則滿足：

$$ text{rank}(mathbf{A}) + text{nullity}(mathbf{A}) = n $$

其中 $text{rank}$ 為矩陣秩（線性無關列數），$text{nullity}$ 為零空間維度。
譜定理（Spectral Theorem）
適用于對稱矩陣 $mathbf{A}$（即 $mathbf{A} = mathbf{A}^T$），其可對角化為：

$$ mathbf{A} = mathbf{Q} mathbf{Lambda} mathbf{Q}^{-1} $$

$mathbf{Lambda}$ 為特征值對角陣，$mathbf{Q}$ 由正交特征向量構成。

三、典型應用場景

工程計算：有限元分析中求解線性方程組
計算機科學：圖像處理的奇異值分解（SVD）
量子力學：哈密頓算子的特征值表示能量狀态

權威參考來源：

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（第五版）, Wellesley-Cambridge Press.

David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications（第四版）, Pearson.

Peter D. Lax, Linear Algebra and Its Applications（第二版）, Wiley.

網絡擴展解釋

矩陣定理是線性代數中與矩陣相關的一系列重要定理的統稱，涵蓋矩陣的基本性質、運算規則、分解方法及特征值理論等。以下是幾個核心定理的簡要解釋：

1.矩陣乘法的結合律與分配律

結合律：對于矩陣 ( A )、( B )、( C )，若維度滿足乘法條件，則 ((AB)C = A(BC))。
分配律：矩陣乘法對加法滿足分配，即 ( A(B + C) = AB + AC ) 和 ( (A + B)C = AC + BC )。
應用：簡化複雜矩陣運算，尤其在計算機圖形學中用于變換組合。

2.行列式的性質

行列式乘積定理：若 ( A )、( B ) 為同階方陣，則 (det(AB) = det(A)det(B))。
逆矩陣存在條件：方陣 ( A ) 可逆當且僅當 (det(A) eq 0)。
應用：判斷線性方程組是否有唯一解，或矩陣是否可逆。

3.特征值與特征向量定理

譜定理：對稱矩陣的特征值為實數，且存在正交特征向量構成的基。公式表示為：
$$ A = QLambda Q^T $$
其中 ( Q ) 是正交矩陣，( Lambda ) 為對角矩陣。
Perron-Frobenius定理：非負矩陣的最大特征值為正實數，對應正特征向量。
應用：主成分分析（PCA）、網絡中的重要性排序（如PageRank）。

4.矩陣分解定理

奇異值分解（SVD）：任意矩陣 ( A ) 可分解為：
$$ A = USigma V^T $$
其中 ( U )、( V ) 為正交矩陣，( Sigma ) 為對角矩陣（奇異值）。
QR分解：矩陣 ( A ) 可分解為正交矩陣 ( Q ) 和上三角矩陣 ( R ) 的乘積。
應用：數據壓縮、最小二乘法求解。

5.Cayley-Hamilton定理

任意方陣 ( A ) 滿足其自身的特征方程，即若 ( p(lambda) = det(A - lambda I) )，則 ( p(A) = 0 )。
應用：簡化矩陣幂的計算，求解線性遞推關系。

其他重要定理

秩-零化度定理：矩陣的秩（列空間維度）與零空間維度之和等于列數。
Jordan标準形：複方陣可化為由Jordan塊構成的對角分塊矩陣。

矩陣定理是科學計算、機器學習、工程優化等領域的數學基礎。如果需要具體定理的深入解釋，可進一步說明名稱或應用場景。