【計】 continue-fraction approximation
連分數近似（Continued Fraction Approximation）是數學中利用連分數展開形式對實數進行逐步逼近的方法。其核心思想是将目标數表示為無限遞歸的分數結構，通過截斷分母層級獲得有理數近似值。該方法在無理數分析、數值優化和密碼學領域具有重要應用。
根據《數學百科辭典》（Encyclopedia of Mathematics），連分數近似的标準表達式為： $$ a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + cdots}}} $$ 其中$a_i$為整數系數，每個截斷式$frac{p_n}{q_n}$構成最佳有理逼近值。以黃金分割比$phi approx 1.618$為例，其連分數展開式為： $$ 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + cdots}}} $$ 前三次近似值分别為$frac{2}{1},frac{3}{2},frac{5}{3}$，逐步逼近真實值。
《計算數學原理》（Springer）指出該方法具備兩個關鍵性質：①每個近似值都是不可約分數；②任意相鄰兩個近似值中必有一個滿足$|α - frac{p}{q}| < frac{1}{2q}$的精度要求。這種特性使其在工程設計中的誤差控制方面具有獨特優勢，如NASA在航天器軌道計算中就曾采用連分數近似算法（美國數學學會公開報告）。
連分數近似是一種通過構造連分數表達式，逐步截斷以獲得實數（尤其無理數）的有理數逼近的方法。以下是詳細解釋：
section*{1. 連分數的定義} 連分數是形如以下結構的表達式： $$ a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + cdots}}} $$ 其中$a_0$為整數，$a_1,a_2,dots$為正整數。有限連分數表示有理數，無限連分數表示無理數。
section{2. 構造與近似過程} 以無理數$pi$為例，其連分數展開為： $$ pi = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1 + cdots}}} $$ paragraph{近似步驟：} ① 截斷到第一層：$3$，對應近似值$3$； ② 截斷到第二層：$3 + frac{1}{7} = frac{22}{7} approx 3.142857$； ③ 截斷到第三層：$3 + frac{1}{7+frac{1}{15}} = frac{333}{106} approx 3.141509$； ④ 更高層截斷可得到更精确的近似值（如$frac{355}{113} approx 3.1415929$）。
section*{3. 核心思想} 通過逐層選取整數部分$a_i$，剩餘部分用分數表達并遞歸處理，最終将實數分解為一系列整數和分數的組合。每次截斷後的結果均為原數的有理數逼近，且隨着層數增加精度提高。
section*{4. 應用與特點}
提示：實際應用中可通過編程工具（如Matlab）實現連分數展開計算。
【别人正在浏覽】