不可約矩陣英文解釋翻譯、不可約矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 irreducible matrix; unreduced matrix

分詞翻譯：

不的英語翻譯：

nay; no; non-; nope; not; without
【醫】 a-; non-; un-

可約矩陣的英語翻譯：

【計】 reducible matrix

專業解析

不可約矩陣（Irreducible Matrix）是線性代數和矩陣理論中的重要概念，其定義為：若一個方陣不能通過相同的行列置換變換為分塊上三角矩陣形式，則該矩陣稱為不可約矩陣。這一性質與圖論中的強連通性密切相關——當矩陣對應的有向圖中任意兩個節點間存在雙向路徑時，該矩陣即為不可約矩陣。

從數學特性分析，不可約矩陣具有以下核心性質：

Perron-Frobenius定理的適用性：不可約非負矩陣必存在唯一的最大正實特征值，且對應正特征向量（參考《矩陣分析》第3章）
穩定性判據：在動力系統分析中，不可約性常被用于判定系統狀态的全局可達性（見Springer線性代數參考書）
馬爾可夫鍊應用：轉移概率矩陣的不可約性決定了馬爾科夫鍊狀态空間的不可分割性（引自《隨機過程導論》）

該概念在英文文獻中對應術語"Irreducible Matrix"，其詞源可追溯至拉丁語"reducere"（還原）的否定形式，強調矩陣結構的不可分解性。在數值分析領域，不可約矩陣的特殊性質常被用于設計高效的疊代算法，例如在計算PageRank算法時對網頁鍊接矩陣的不可約化處理（參考SIAM數值分析期刊）。

網絡擴展解釋

不可約矩陣是線性代數中的重要概念，主要應用于圖論、隨機過程和經濟理論等領域。以下是其核心定義與解釋：

一、基本定義

不可約矩陣指無法通過排列變換分解為分塊上三角陣的方陣。具體來說：

若存在排列矩陣$P$，使得$P^TAP$呈現分塊上三角形式（如$begin{pmatrix} A{11} & A{12}0 & A_{22} end{pmatrix}$），則矩陣$A$為可約矩陣；
若無法找到這樣的排列矩陣$P$，則$A$為不可約矩陣。

二、圖論視角

不可約矩陣與有向圖的強連通性直接相關：

矩陣$A$對應的有向圖中，若任意兩個節點間均存在雙向路徑（即強連通），則$A$不可約；
例如，若矩陣元素$a_{ij} eq 0$表示節點$i$到$j$存在有向邊，則不可約性意味着整個圖無法分割為互不連通的子圖。

三、關鍵性質

代數性質：不可約矩陣的轉置仍不可約；
幂次特性：若$A$不可約，則存在正整數$k$使得$A^k$的所有元素非零（對應強連通圖中任意節點間存在長度$k$的路徑）；
應用場景：常用于馬爾可夫鍊分析，表示狀态間的完全可達性。

四、判定方法

強連通圖檢驗：通過深度優先搜索（DFS）等算法驗證對應有向圖的強連通性；
代數判定：檢查是否存在非平凡不變子空間，若無則矩陣不可約。

五、與可約矩陣對比

特性	不可約矩陣	可約矩陣
結構分解	無法分塊為上三角形式	可通過排列矩陣分塊為上三角形式
圖論意義	強連通圖	非強連通圖
應用領域	馬爾可夫鍊、網絡分析	分塊矩陣運算、系統分解

以上内容綜合了多個權威來源的定義與性質描述，具體應用時需結合具體場景進一步分析。