不可約多項式英文解釋翻譯、不可約多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 irreducible polynomial

cannot

about; agreement; arrange; make an appointment; pact
【經】 about

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

不可約多項式（Irreducible Polynomial）是抽象代數與多項式理論中的重要概念，指在給定數域上無法被分解為兩個次數更低且系數屬于該數域的多項式的乘積。其核心特性包括：

定義與判定條件
若多項式$f(x)$在數域$F$上隻能被自身或其常數倍整除，則稱其在$F$上不可約。例如，$x - 2$在有理數域$mathbb{Q}$中不可約，但在實數域$mathbb{R}$中可分解為$(x-sqrt{2})(x+sqrt{2})$（來源：《抽象代數基礎》，Springer出版）。
典型應用領域
不可約多項式是構建有限域的核心工具，廣泛應用于編碼理論（如Reed-Solomon碼）和密碼學（如橢圓曲線加密算法）（來源：美國數學學會《數學術語指南》）。
與素數的類比
在多項式環中，不可約多項式扮演類似整數環中素數的角色，是多項式唯一分解定理成立的基礎（來源：Wolfram MathWorld詞條"Irreducible Polynomial"）。

不可約多項式是抽象代數和多項式理論中的一個核心概念，其定義與數論中的“質數”類似。以下是詳細解釋：

在給定系數域（如有理數域、實數域、複數域等）上，若一個多項式不能分解為兩個次數更低的多多項式的乘積，則稱為不可約多項式。反之則稱為可約多項式。

域依賴性：
- 同一多項式在不同域上的可約性可能不同。例如：
  - ( x + 1 ) 在實數域上不可約（無法分解為實系數低次多項式乘積），但在複數域上可分解為 ( (x+i)(x-i) )。
  - ( x - 2 ) 在有理數域上不可約（因 (sqrt{2}) 不是有理數），但在實數域上可分解為 ( (x-sqrt{2})(x+sqrt{2}) )。
唯一分解定理：任何多項式均可唯一分解為不可約多項式的乘積（類似于整數的質因數分解）。

有理數域 ( mathbb{Q} ) 上：
- ( x - 2 ) 不可約（無法用有理系數分解）。
- ( x - 2 ) 不可約（艾森斯坦判别法適用，取素數 ( p=2 )）。
實數域 ( mathbb{R} ) 上：不可約多項式僅有一次多項式或二次無實根多項式（如 ( x + 1 )）。
複數域 ( mathbb{C} ) 上：所有不可約多項式均為一次多項式（代數基本定理）。

艾森斯坦判别法：對多項式 ( f(x) = a_nx^n + cdots + a_0 )，若存在素數 ( p ) 滿足：
1. ( p mid a_n ),
2. ( p mid a_i )（對所有 ( i < n )）,
3. ( p mid a_0 ), 則 ( f(x) ) 在有理數域上不可約。

不可約多項式在域擴張理論（如構造有限域 ( mathbb{F}_{p^n} )）、編碼理論（如糾錯碼設計）和密碼學（如橢圓曲線加密）中具有重要應用。例如，有限域 ( mathbb{F}_p ) 的擴域可通過不可約多項式生成。