特征函數英文解釋翻譯、特征函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

eigenfunction
【計】 characteristic function
【化】 characteristic function; eigenfunction

分詞翻譯：

特的英語翻譯：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

征的英語翻譯：

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【醫】 sign; signe; signum

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

特征函數（characteristic function）是概率論與數理統計中用于唯一描述隨機變量概率分布的核心工具，其英文術語為characteristic function，在信號處理領域也被稱為傅裡葉變換的期望形式。其數學定義為：對任意實值隨機變量( X )，特征函數表示為： $$ phi_X(t) = E[e^{itX}] $$ 其中( i )為虛數單位，( t )為實數參數。

關鍵解析與應用

數學本質
特征函數是隨機變量概率分布的傅裡葉變換，通過複數域積分将分布特性轉化為頻域表達。它能夠唯一确定概率分布，且對獨立隨機變量的和具有乘積性質（即(phi_{X+Y}(t) = phi_X(t)phi_Y(t))）。
工程學應用
在電子工程領域，特征函數用于分析信號的統計特性，例如通信系統中噪聲的功率譜密度計算。在金融數學中，它被用于期權定價模型的推導（如Lévy過程）。
與矩生成函數的關系
特征函數可展開為各階矩的生成形式： $$ phiX(t) = sum{k=0}^{infty} frac{(it)^k}{k!} E[X^k] $$ 這一性質使其在計算偏度、峰度等統計量時更具普適性，尤其適用于高階矩不存在的情況。

學術參考來源

定義與基礎理論引自陳希孺《概率論與數理統計》（科學出版社，2000年）。
應用案例參考Sheldon Ross《隨機過程》（第2版，機械工業出版社，2013年）。
數學推導細節補充自Durrett《Probability: Theory and Examples》（劍橋大學出版社，2019年）。

網絡擴展解釋

特征函數是數學和概率論中的重要概念，在不同領域有不同定義，以下是主要解釋：

一、概率論中的特征函數

定義：對于隨機變量$X$，其特征函數定義為： $$ varphi_X(t) = E[e^{itX}] $$ 其中$t in mathbb{R}$，$i$是虛數單位，$E$表示數學期望。它是概率分布的傅裡葉變換，能唯一确定分布性質。

核心作用：

唯一性定理：不同分布的特征函數不同，可用于判定分布是否相同。
計算矩：通過導數求原點矩，如$varphi_X^{(n)}(0) = i^n E[X^n]$。
分布收斂性：特征函數逐點收斂可推出分布弱收斂（Lévy連續性定理）。

示例：

正态分布$N(mu, sigma)$的特征函數為$e^{imu t - frac{1}{2}sigma t}$。
泊松分布的特征函數為$e^{lambda(e^{it}-1)}$。

二、集合論中的特征函數

在集合論中，特征函數（示性函數）定義為： $$ mathbf{1}_A(x) = begin{cases} 1 & x in A 0 & x otin A end{cases} $$ 用于将集合$A$的隸屬關系轉化為數值函數，廣泛應用于測度論和積分定義。

三、其他領域

在微分方程中，特征函數指與線性算子相關的非零解；在博弈論中則用于描述聯盟的收益分配特性。

若需特定領域更深入的解釋，可提供具體上下文。