[數] 變分問題
Usually the probability of rare event derived from large deviation method can be expressed as a solution of variational problem.
通常，源于大偏差方法的小概率事件的概率可以作為一個變分問題的解。
The new variational principles can fully characterize the initial-boundary-value problem of this dynamics.
這種新的變分原理能反映動力學初值-邊值問題的全部特征。
The obstacle problem is the typical example of the elliptic variational inequality of the first kind.
薄膜障礙問題是第一類橢圓型變分不等式的代表性模型。
As to the problem of packing balls, a smooth model is given and the corresponding optimality conditions are established by the optimality theory of variational analysis.
對球體圖元的裝箱問題直接給出光滑的優化模型，依據變分分析的最優性理論建立了最優性必要條件。
As an inverse problem of Hamiltonian mechanics, a new Hamiltonian system in elasticity and its variational principle are derived from the basic equations of elasticity.
作為哈密頓力學逆問題，從彈性力學基本方程推導出彈性力學中一個新的哈密頓系統及其變分原理。
變分問題（variational problem）是數學中變分法的核心研究對象，指在滿足特定邊界條件的函數集合中，尋找使某一泛函達到極值（極大或極小）的函數。這類問題通常表現為對積分型泛函的優化，例如尋找兩點間耗時最短的曲線（最速降線問題）或确定肥皂膜的最小表面積形狀（極小曲面問題）。
從數學形式看，變分問題可表示為尋找函數$y(x)$使得泛函： $$ J[y] = int_{a}^{b} F(x, y, y') , dx $$ 取得極值，其中$F$是包含未知函數及其導數的特定函數。該極值條件可通過歐拉-拉格朗日方程推導，其微分方程為： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 這一方程奠定了經典力學中拉格朗日力學的數學基礎。
在應用領域，變分問題廣泛存在于物理學和工程學中。例如：
曆史發展方面，約翰·伯努利1696年提出的最速降線問題标志着變分法的誕生，後經歐拉、拉格朗日等數學家系統化發展。現代應用中，有限元方法等計算技術使複雜變分問題的數值求解成為可能。
參考文獻：
變分問題（variational problem）是數學中的一個核心概念，主要研究如何尋找使某個泛函（函數的函數）取得極值的函數。它在物理學、工程學、經濟學等領域有廣泛應用。
典型變分問題可表示為： $$ J[y] = int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) , dx $$ 目标是找到函數 ( y(x) ) 使得 ( J[y] ) 取得極值，通常通過歐拉-拉格朗日方程求解： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$
變分問題将連續系統的優化抽象為數學框架，成為連接微積分、微分方程與物理規律的重要橋梁。
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