spherical harmonics是什麼意思，spherical harmonics的意思翻譯、用法、同義詞、例句
常用詞典
球函數
例句
Several spherical harmonics degenerate on an oblique plane.
幾個球諧堕落的斜面。
A 3d model similarity matching algorithm based on spherical harmonics descriptor is proposed in this paper.
提出了一種基于球面調和描述子的3維模型相似性比較算法。
The dependent variables are expanded in series of spherical harmonics truncated rhomboidally at wavenumber 15.
這些因變量展開為球函數的級數形式并在15處作菱形截斷。
The approach starts from an analysis of spherical harmonics and finds out a quadratic polynomial form of environment mapping.
該方法從分析球面調和函數入手，首先得出環境貼圖的二次多項式表達形式；
In addition, the ray effect in the spherical harmonics approximation mitigates with increasing optical thickness within gray medium.
同時，球諧函數法的射線效應隨光學厚度的增加而減小。
專業解析
球諧函數（Spherical Harmonics）是定義在球面上的特殊函數，是拉普拉斯方程（Laplace's equation）在球坐标系下角度部分的解。它們在數學物理和衆多工程領域中扮演着核心角色，用于描述具有球對稱性的物理量或現象的空間分布模式。
其詳細含義可以從以下幾個方面理解：
-
數學定義與核心特性：
- 球諧函數通常表示為 ( Y_l^m(theta, phi) )，其中 ( l ) 是一個非負整數（( l geq 0 )），稱為階數或軌道角動量量子數；( m ) 是一個整數，取值範圍為 ( -l leq m leq l )，稱為磁量子數或階數。變量 ( theta )（極角，範圍 0 到 π）和 ( phi )（方位角，範圍 0 到 2π）定義了球面上的位置。
- 它們是正交歸一的。這意味着不同階數 ( l ) 或不同階數 ( m ) 的球諧函數在球面上的積分滿足特定條件：當兩個函數完全相同時，積分結果為 1；當兩個函數不同時，積分結果為 0。數學上表示為：
[
int_0^{2pi} int_0^{pi} [Yl^m(theta, phi)]^* Y{l'}^{m'}(theta, phi) sintheta , dtheta , dphi = delta{ll'} delta{mm'}
]
其中 ( delta_{ab} ) 是 Kronecker delta 符號（當 a=b 時為 1，否則為 0），( ^* ) 表示複共轭。
- 它們構成一個完備集。任何定義在球面上的平方可積函數 ( f(theta, phi) ) 都可以展開為球諧函數的線性組合（類似于傅裡葉級數）：
[
f(theta, phi) = sum{l=0}^{infty} sum{m=-l}^{l} a_{lm} Yl^m(theta, phi)
]
其中系數 ( a{lm} ) 可以通過正交性求得。這使得球諧函數成為分析和表示球面上複雜函數模式的強大工具。
-
與勒讓德多項式的關系：
- 球諧函數與連帶勒讓德多項式（Associated Legendre Polynomials）( P_l^m(x) ) 密切相關。具體的函數形式為：
[
Y_l^m(theta, phi) = sqrt{frac{(2l+1)}{4pi} frac{(l-m)!}{(l+m)!}} , P_l^m(costheta) , e^{imphi}
]
其中 ( P_l^m(costheta) ) 負責處理 ( theta ) 方向的依賴關系（極角變化），而 ( e^{imphi} ) 負責處理 ( phi ) 方向的依賴關系（方位角變化），表現為複指數形式的振蕩。前面的系數是為了保證歸一化。
-
物理意義與應用：
- 量子力學：在描述氫原子等體系的電子軌道（波函數）時，球諧函數給出了電子在空間不同角度出現的概率分布。階數 ( l ) 對應軌道的形狀（s, p, d, f...軌道），階數 ( m ) 對應軌道在空間中的取向。
- 電磁學：在求解靜電場、靜磁場或電磁波傳播問題時，尤其是在處理具有球對稱邊界條件的情況（如球形導體、天線輻射模式），球諧函數展開是基本方法。多極子（單極子、偶極子、四極子等）的場分布可以用不同階的球諧函數描述。
- 天體物理學與地球物理學：用于表示行星、恒星的引力場或磁場分布。通過測量衛星軌道擾動或地表重力/磁場數據，可以反演出引力場或磁場的球諧系數，從而了解星球内部的質量分布或動力學過程。
- 計算機圖形學：在全局光照渲染中，球諧函數被用來高效地表示和傳輸環境光照信息（環境光遮蔽、漫反射光照等），以及描述物體表面的 BRDF（雙向反射分布函數）。其正交性和低頻濾波特性使其非常適合壓縮和計算光照效果。
- 聲學：用于分析聲音在空間中的傳播和環繞聲場的表示。
- 計算機視覺：用于 3D 形狀描述和識别。
-
可視化：
- 每個球諧函數 ( Y_l^m ) 對應于球面上的一個特定振動模式。實部或虛部（或其實數線性組合）可以繪制在球面上，呈現出具有 ( l ) 個緯向節線（平行于赤道的零值線）和 ( |m| ) 個經向節線（連接兩極的零值線）的圖案。階數 ( l ) 越大，模式的空間頻率越高（變化越劇烈）。
總而言之，球諧函數提供了一套在球坐标系下描述角度依賴性的标準正交基函數。它們的正交歸一性和完備性使其成為解決涉及球對稱性的物理問題（如量子力學中的原子軌道、電磁學中的多極場、行星科學中的位場）以及處理球面數據（如計算機圖形學中的光照）不可或缺的數學工具。
參考資料：
: Wolfram MathWorld - Spherical Harmonics: https://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html (權威數學資源，提供詳細數學定義、性質和可視化)
: Wikipedia - Spherical Harmonics: https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics (綜合概述，涵蓋數學、物理應用和計算機圖形學應用)
: DLMF (NIST) - Spherical Harmonics: https://dlmf.nist.gov/14.30 (美國國家标準與技術研究院的數學函數數字圖書館，提供嚴格數學定義和公式)
: Robin Green's "Spherical Harmonic Lighting: The Gritty Details": https://www.researchgate.net/publication/2593985_Spherical_Harmonic_Lighting_The_Gritty_Details (計算機圖形學領域應用球諧函數進行光照計算的經典文獻，具有重要實踐指導意義)
網絡擴展資料
Spherical Harmonics（球諧函數）的詳細解釋
1. 基本定義
Spherical Harmonics（球諧函數）是一類在球面上定義的特殊正交函數系，主要用于描述球對稱系統的數學問題。該術語由兩部分構成：
- Spherical（球形的/球面的）：指函數的作用域或坐标系為球面，常見于三維空間中的球坐标系統（如θ和φ角度參數）。
- Harmonics（諧函數）：源自“諧波”，指函數具有類似正弦波的周期性特征，但適用于球面幾何。
2. 數學性質
球諧函數具有以下核心特性：
- 正交性：不同階的球諧函數在球面上的積分為零，這一性質使其能作為基函數分解複雜信號。
- 多階分解：低階球諧函數（如前3-4階）可表示低頻信號（如平滑光照），高階則能還原高頻細節。
- 公式形式：一般表示為 $Y_l^m(theta, phi)$，其中：
- $l$ 為階數（非負整數），$m$ 為次數（$-l leq m leq l$）。
- 涉及伴隨勒讓德多項式（Associated Legendre Polynomials）和複指數函數的組合。
3. 應用領域
- 計算機圖形學：用于球諧光照（Spherical Harmonic Lighting），将環境光投影到低階基函數上，簡化實時渲染計算。
- 物理學與工程：解決量子力學中的原子軌道問題、地球重力場分析等。
4. 實際意義
通過類似傅裡葉變換的思想，球諧函數将複雜函數分解為基函數的線性組合，使計算高效且存儲緊湊（如16個系數可表示四階球諧光照）。
如果需要更深入的數學推導或具體應用案例，可參考相關物理學或圖形學教材。
别人正在浏覽的英文單詞...
【别人正在浏覽】
