[數] 疊代法
There are many variations of the iterative method.
疊代方法有多個變體。
The convergence of this iterative method is proved.
證明了疊代方法的收斂性。
Finite-difference iterative method is used for numerical solution.
應用差分疊代方法進行了數值求解。
The paper gives an iterative method of linear prediction spectral estimation.
本文給出線性預測譜估計一種疊代方法。
Alternating iterative method is a simplified form of the unified iterative method.
交替疊代法是統一疊代法的簡化。
|iteration method/iteration process;[天][數]疊代法
疊代方法（Iterative Method）是一種通過重複應用計算過程逐步逼近問題解的數學技術。與直接解析法不同，它從初始猜測出發，通過疊代公式生成序列，當序列收斂時其極限即為所求解。該方法尤其適用于求解大規模線性方程組、特征值問題、優化問題及微分方程數值解等場景。
設待求解問題為 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$（線性方程組）或 $x = g(x)$（非線性方程）。疊代法構造如下遞推式： $$ mathbf{x}^{(k+1)} = mathbf{B} mathbf{x}^{(k)} + mathbf{c} $$ 其中 $mathbf{B}$ 為疊代矩陣，$mathbf{c}$ 為常數向量，$k$ 為疊代次數。收斂性取決于疊代矩陣譜半徑 $rho(mathbf{B}) < 1$，誤差滿足： $$ |mathbf{e}^{(k)}| leq rho^k |mathbf{e}^{(0)}| $$
雅可比法（Jacobi Method）
分解矩陣 $mathbf{A} = mathbf{D} + mathbf{L} + mathbf{U}$，疊代公式為： $$ mathbf{x}^{(k+1)} = -mathbf{D}^{-1}(mathbf{L}+mathbf{U})mathbf{x}^{(k)} + mathbf{D}^{-1}mathbf{b} $$ 適用于對角占優矩陣，并行效率高。
高斯-賽德爾法（Gauss-Seidel Method）
利用最新計算值加速收斂： $$ xi^{(k+1)} = frac{1}{a{ii}} left( bi - sum{j=1}^{i-1} a{ij}xj^{(k+1)} - sum{j=i+1}^{n} a{ij}x_j^{(k)} right) $$ 收斂速度通常優于雅可比法，但串行依賴性強。
共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）
針對對稱正定矩陣的Krylov子空間方法，通過正交搜索方向優化收斂性。其第 $k$ 步誤差滿足： $$ |mathbf{e}^{(k)}|{mathbf{A}} leq 2 left( frac{sqrt{kappa}-1}{sqrt{kappa}+1} right)^k |mathbf{e}^{(0)}|{mathbf{A}} $$ 其中 $kappa$ 為條件數，廣泛用于有限元分析。
在結構力學中，疊代法用于求解由有限元離散生成的百萬階稀疏線性系統。例如，CG法結合預處理技術（如不完全Cholesky分解）可高效模拟橋梁應力分布，計算複雜度降至 $O(nsqrt{kappa})$，遠優于直接法的 $O(n)$。
參考文獻
疊代方法（iterative method）是一種通過重複應用特定計算步驟來逐步逼近問題解的數學或計算技術。其核心思想是從一個初始猜測出發，通過不斷修正和改進，最終獲得滿足精度要求的解。以下是關鍵要點：
與直接法的對比
與直接法（如矩陣求逆解方程組）不同，疊代法不追求一步到位，而是通過循環計算逐步逼近答案。這種方法特别適用于大規模、高維度或無法顯式求解的問題，例如非線性方程組。
典型應用場景
基本流程框架
初始化近似解 x₀
while 未滿足收斂條件:
xₖ⁺¹ = 計算新近似值(xₖ)
檢查誤差是否小于阈值核心優勢
收斂性要求
成功的疊代法需滿足兩個條件：① 疊代序列最終趨近于真實解（收斂性）；② 在有限步内達到實用精度（收斂速度）。例如牛頓法具有二次收斂速度，而簡單固定點疊代僅為線性收斂。
該方法在計算機科學中尤為重要，因為許多現實問題（如網頁排名算法、圖像處理）都依賴于高效疊代策略。理解疊代思想有助于掌握現代計算技術的底層邏輯。
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