innumerability是什麼意思，innumerability的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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innumerability（不可數性）是數學與集合論中的核心概念，指一個無限集合無法與自然數集建立一一對應關系的特性。這種集合的元素數量“超越可數無限”，無法通過自然數順序編號窮盡。其核心定義與應用如下：

一、數學定義與特性

1. 不可數集的定義

   若集合 ( S ) 的基數（元素數量）嚴格大于自然數集 ( mathbb{N} ) 的基數（記為 ( aleph_0 )），則 ( S ) 是不可數集。例如：

   • 實數集 ( mathbb{R} ) 是不可數集的典型代表，其基數記為 ( mathfrak{c} )（連續統的勢）。
   • 區間 ( (0,1) ) 内的實數 同樣不可數，可通過康托爾對角線法證明（見下文）。

2. 與可數無限的區别

   • 可數無限集（如自然數、整數、有理數）的元素可與自然數一一對應。
   • 不可數集（如實數、無理數）無法建立這種對應，其基數更高階（例如 ( mathfrak{c} = 2^{aleph_0} )）。

二、康托爾對角線論證（關鍵證明）

康托爾在1891年提出的對角線法，證明了實數集的不可數性：

1. 假設區間 内的實數可列成序列 ( r_1, r_2, r_3, ldots )。
2. 構造新實數 ( d )，其小數點後第 ( k ) 位與 ( r_k ) 的第 ( k ) 位不同（例如修改為4或5）。
3. ( d ) 不在原序列中，與假設矛盾，故實數不可數。

   來源：康托爾原始論文 Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre（1891），現代闡述可參考斯坦福哲學百科 Cantor's Theorem。

三、實例與應用領域

• 數學基礎：不可數集是實分析、測度論的基礎。例如，在勒貝格測度中，可數集的測度為0，但不可數集（如康托爾集）可能具有正測度。
• 計算機科學：不可數性關聯“不可計算問題”。例如，所有可能的程式集合可數，但函數集合不可數，故存在無法被程式計算的函數（圖靈不可判定性）。

  來源：《計算理論導引》（Sipser, M. Introduction to the Theory of Computation），第3版。

四、哲學與邏輯意義

不可數性挑戰了“無限”的直觀認知，引發關于數學本體論的讨論：

• 希爾伯特問題：連續統假設（是否存在基數介于 ( aleph_0 ) 與 ( mathfrak{c} ) 的集合？）被證明獨立于ZFC公理系統。

  來源：數學百科全書 MathWorld: Continuum Hypothesis。

• 形式系統局限性：哥德爾不完備定理表明，任何包含算術的形式系統無法證明所有實數性質的完備性。

權威參考文獻

1. 康托爾原始工作：

   Cantor, G. (1891). Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

2. 集合論教材：

   Jech, T. (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer. （第6章詳述基數理論）

3. 哲學分析：

   Stanford Encyclopedia of Philosophy: Infinity in Mathematics.

網絡擴展資料

"Innumerability" 是形容詞innumerable 的名詞形式，表示“不可計數性”或“數量極大而無法計算的狀态”。以下是詳細解析：

1. 詞源與構成

   • 詞根in-（否定前綴） +numer（源自拉丁語 numerus，意為“數字”） +-ability（表示性質或狀态的名詞後綴），字面意為“無法用數字衡量的特性”。

2. 核心含義
   描述事物數量龐大到難以逐一計算，常用于抽象或宏觀層面的表達。例如：

   宇宙中的星系具有 innumerability，人類難以窮盡觀測。
   （參考形容詞例句：The stars in the night sky are innumerable.）

3. 同義詞與反義詞

   • 近義詞：countlessness、myriadness、infinity（均強調數量極大）。
   • 反義詞：calculability（可計算性）、finiteness（有限性）。

4. 使用場景
   常見于學術或文學語境，如數學中的不可數集合、哲學對無限性的探讨，或描述自然現象（如沙粒、星辰）的浩瀚。

5. 注意區分
   與另一名詞innumerableness 含義相同，但innumerability 更側重抽象性質，後者更直接描述狀态。

補充：形容詞innumerable 的發音為 /ɪˈnjuːmərəbəl/（英式）或 /ɪˈnuːmərəbəl/（美式），其副詞形式為innumerably。

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