hypergeometry是什麼意思，hypergeometry的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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超幾何函數（Hypergeometry）是數學中一類重要的特殊函數，尤其常見于微分方程、數理物理和概率論領域。其核心概念體現在超幾何級數（Hypergeometric Series）及其推廣形式上。

1. 基礎定義與标準超幾何函數 最常見的超幾何函數稱為高斯超幾何函數或标準超幾何函數，記作 (_2F_1(a,b;c;z))。它由超幾何級數定義： $$ _2F1(a,b;c;z) = sum{n=0}^{infty} frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} frac{z^n}{n!} $$ 其中 ((q)_n) 是Pochhammer符號（上升階乘），定義為 ((q)_n = q(q+1)(q+2)cdots(q+n-1))（當 (n > 0)），且 ((q)_0 = 1)。參數 (a, b) 是任意複數，(c) 通常要求不是非正整數，(z) 是複變量。這個級數在 (|z| < 1) 時收斂，并可通過解析延拓定義到更大的區域。來源：Arfken, G.B., Weber, H.J., Harris, F.E. (2013). Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press.

2. 數學意義與應用

   • 微分方程的解：标準超幾何函數 (_2F_1(a,b;c;z)) 是超幾何微分方程的解： $$ z(1-z)frac{dw}{dz} + [c-(a+b+1)z]frac{dw}{dz} - ab w = 0 $$ 這個二階線性常微分方程在複分析中非常重要，許多物理和工程問題中的微分方程都可以通過變量變換轉化為此形式或其極限情況。來源：Gauss, C.F. (1812). Disquisitiones generales circa seriem infinitam... Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores.

   • 特殊函數的統一框架：大量初等函數和特殊函數都是超幾何函數的特例或極限形式。例如：

     • ((1+z)^a = _2F_1(-a, b; b; -z)) （選擇合適的 (b)）
     • 勒讓德多項式、切比雪夫多項式、雅可比多項式等正交多項式。
     • 不完全貝塔函數、橢圓積分等。 來源：Olver, F.W.J., Lozier, D.W., Boisvert, R.F., Clark, C.W. (Eds.). (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press.

   • 物理應用：在量子力學（如氫原子波函數、勢散射問題）、統計力學（如Ising模型配分函數）、電磁學等領域的計算中經常出現超幾何函數。來源：Landau, L.D., Lifshitz, E.M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory (3rd ed.). Pergamon Press.

3. 推廣形式 “Hypergeometry”的概念不限于标準超幾何函數，還包括其各種推廣：

   • 廣義超幾何函數 (_pF_q)：定義為 $$ _pF_qleft(begin{array}{c} a_1, a_2, ldots, a_pb_1, b_2, ldots, bq end{array}; z right) = sum{n=0}^{infty} frac{(a_1)_n (a_2)_n cdots (a_p)_n}{(b_1)_n (b_2)_n cdots (b_q)_n} frac{z^n}{n!} $$ 當 (p leq q+1) 時，該級數對所有有限 (z) 收斂；當 (p = q+1) 時，在 (|z| < 1) 收斂。标準超幾何函數是 (p=2, q=1) 的特例。
   • 合流超幾何函數：當超幾何方程的參數取特定極限（如 (b to infty)）時，會退化成合流超幾何方程，其解為庫默爾函數 (M(a, c, z)) 或惠特克函數等，在求解拉普拉斯方程、抛物柱坐标等問題中常見。 來源：Slater, L.J. (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press.

“hypergeometry”主要指以超幾何級數定義的一類特殊函數及其理論，核心是高斯超幾何函數 (_2F_1) 及其推廣形式 (_pF_q)。它們在求解二階線性常微分方程、統一表達衆多特殊函數以及在物理科學的多領域應用中扮演着基礎而關鍵的角色。

網絡擴展資料

根據現有資料，“hypergeometry”一詞并未在權威數學或幾何學文獻中被廣泛定義，可能是用戶對“hypergeometric”（超幾何）或“hyperbolic geometry”（雙曲幾何）等術語的誤寫或組合。以下是相關概念的詳細解釋：

1.Hypergeometric（超幾何）

• 定義：超幾何是統計學和數學中的術語，主要用于描述超幾何分布（Hypergeometric Distribution）。該分布適用于無放回抽樣場景，計算從有限總體中抽取特定特征元素的概率。其概率質量函數為： $$ P(X=k) = frac{binom{K}{k} binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}} $$ 其中，$N$為總體數量，$K$為成功元素數量，$n$為抽樣數量，$k$為抽樣中的成功數。
• 應用：常見于質量控制、生物統計等領域，例如計算從一批産品中隨機抽取不合格品的概率。

2.Hyperbolic Geometry（雙曲幾何）

• 定義：一種非歐幾何，與歐幾裡得幾何的核心區别在于平行公設。在雙曲幾何中，過直線外一點可作無數條與該直線不相交的直線。
• 特點：三角形内角和小于180度，常用于描述負曲率空間，如宇宙學中的某些模型。

3.其他相關幾何學分支

• Hypercubic Geometry（超立方幾何）：研究高維立方體（如四維超立方體）的結構與性質。
• Computational Geometry（計算幾何）：利用算法解決幾何問題，應用于計算機圖形學、機器人路徑規劃等。

可能的情況分析

• 術語誤寫：若用戶實際想了解“hypergeometric”，則需參考統計學中的超幾何分布或超幾何函數（如高斯超幾何函數）。
• 組合概念：若指代某種高階幾何理論，目前并無權威定義，可能與高維幾何（如超立方體）或非歐幾何相關。

建議用戶确認術語拼寫或提供更多上下文，以便進一步解答。

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