generalized projection是什麼意思，generalized projection的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

廣義投影

例句

Its skill is to combine generalized projection with SQP technique.

其技巧在于将廣義投影和SQP技術結合使用。

The generalized Cauchy projection formula is frequently used in dealing with problems concerning geometric quantities.

在處理關于這些幾何量的問題時廣義柯西投影公式經常被使用。

Optimization problem with nonlinear inequality constraints is discussed. With the help of the generalized projection, a unified algorithm model with a series of free parameters is presented.

對非線性不等式約束最優化問題進行了讨論，借助廣義投影建立求解問題的一個含系列自由參數的統一算法模型。

In this paper, a new generalized gra***nt projection method with inexact line search is proposed for the nonlinear optimization problem with linear constraints.

讨論一般約束最優化，利用廣義投影技術和強次可行方向法思想，建立一個初始點任意的新算法。

Based on internal algorithm, a generalized variable metric projection internal algorithm for nonlinear programming with linear constraints and the convergence proof are given.

基于内點算法的思想，利用廣義投影技術構造了一求解線性約束的非線性規劃問題的變尺度方向内點算法，并給出了其收斂性證明．。

In this paper, the generalized transport equation is derived from projection operator techniques and the physical meaning of the results is discussed.

本文介紹用投影算符技術導出廣義輸運方程，并對結果的物理意義進行了讨論。

The generalized POCS algorithm introduces the statistics of the noise to the constraints of projection iteration so that the algorithm is able to eliminate the noise effectively.

該算法将噪聲的統計特性引入到投影疊代的限制條件之中，使得該推廣的POCS算法具有很好的去噪聲能力。

In this paper, a type of Min Max problem with constraints has been discussed and a generalized projection method has been given for solving this problem.

讨論一類帶約束的極大極小問題并給出一個廣義投影型的算法，利用問題的特性而使算法有較簡單的結構。

專業解析

在數學和工程領域，廣義投影（Generalized Projection）指的是将點映射到某個集合上的操作，但這個集合不一定是線性子空間（這是經典投影的要求），目标函數也不一定是歐幾裡得距離的平方。它擴展了傳統正交投影的概念，適用于更廣泛的優化問題和幾何場景。

以下是其核心含義的詳細解釋：

核心定義與目标：
- 給定一個度量空間（通常是賦範空間或内積空間，如 (mathbb{R}^n)）中的一個點 (mathbf{x}) 和一個（通常是非空閉凸）集合 (C)。
- 廣義投影的目标是找到一個點 (mathbf{y}^ in C)，使得 (mathbf{y}^) 在某種廣義距離度量 (D(mathbf{x}, mathbf{y})) 下最接近 (mathbf{x})。即： $$mathbf{y}^* = argmin_{mathbf{y} in C} D(mathbf{x}, mathbf{y})$$
- 這裡的關鍵在于 (D(mathbf{x}, mathbf{y}))不一定是标準的歐幾裡得距離 (|mathbf{x} - mathbf{y}|_2) 或其平方。
與經典投影的區别：
- 經典（正交）投影：要求 (C) 是線性子空間（或仿射子空間），并使用歐幾裡得距離的平方 (|mathbf{x} - mathbf{y}|_2) 作為度量。解 (mathbf{y}^) 滿足 (mathbf{x} - mathbf{y}^) 與 (C) 正交。
- 廣義投影：
  - 集合 (C) 更一般：可以是任意閉凸集（如多面體、球體、錐、半正定矩陣集合等），不要求是子空間。
  - 距離度量 (D) 更一般：可以是 Bregman 散度（Bregman Divergence）、(phi)-散度（(phi)-Divergence）、馬氏距離（Mahalanobis Distance）、相對熵（Kullback-Leibler Divergence）或其他更一般的凸函數産生的距離/差異度量。
  - 解的性質不同：解 (mathbf{y}^*) 不一定滿足正交性條件，而是滿足由所選度量 (D) 導出的廣義正交性或最優性條件（例如，Bregman 投影滿足特定的變分不等式）。
關鍵特性：
- 存在性與唯一性：當集合 (C) 是閉凸集，且距離函數 (D(mathbf{x}, cdot)) 是嚴格凸且在 (C) 上具有某些良好性質（如下半連續性）時，廣義投影通常是存在且唯一的。
- 非擴張性：類似于經典投影算子的非擴張性（Nonexpansiveness），某些類型的廣義投影算子（特别是基于 Bregman 散度的）也具有類似的性質，這對于證明疊代算法的收斂性至關重要。
主要應用領域：
- 凸優化：廣義投影是求解約束凸優化問題（特别是當約束集複雜或目标函數特殊時）的基礎工具。例如，Bregman 投影算法（如 Bregman 疊代方法、Mirror Descent 算法）廣泛應用于圖像處理、機器學習、信號處理等領域求解帶約束的優化問題。
- 統計與信息論：使用 KL 散度或其他 (phi)-散度作為度量的廣義投影，對應于在約束條件下（如矩約束）尋找與給定分布“最接近”的分布（如最大熵原理）。這在統計推斷、信息幾何中非常重要。
- 計算幾何：在更一般的距離定義下尋找點到集合的最近點。
- 機器學習：在線上學習、生成模型等場景中，廣義投影用于将參數或預測更新到滿足約束的可行域内。

廣義投影是經典正交投影概念的推廣，它允許在更一般的集合（閉凸集）上，使用更一般的距離或差異度量（如 Bregman 散度、KL 散度）來尋找給定點的“最近點”。這種擴展極大地增強了其在凸優化、統計學習、信息論等領域的應用能力。

參考資料：

SpringerLink: "Projection Methods" in Encyclopedia of Optimization - 提供投影方法（包括廣義投影）的數學定義、性質和在優化中的應用概述。 https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-0-387-74759-0_546
Wolfram MathWorld: "Projection" - 涵蓋投影的數學基礎，廣義投影是其擴展。 https://mathworld.wolfram.com/Projection.html
Boyd & Vandenberghe, Convex Optimization (Book, Ch. 8 & Appendix B) - 标準教材，詳細講解凸集、投影（包括到一般凸集的歐氏距離投影，這是一種重要的廣義投影）及其在優化算法中的應用。 https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

網絡擴展資料

“Generalized projection”是一個複合術語，結合了“generalized”（廣義的/擴展的）和“projection”（投影/投射）的含義，常見于數學、工程或計算機科學領域。以下是詳細解釋：

1. 單詞分解

Generalized（形容詞）
意為“廣義的”或“普遍化的”，指從具體案例中提煉出普適性規則，或對原有概念進行擴展。例如：
- 數學中：将特定定理推廣到更一般的情形（如廣義函數）。
- 工程中：将技術應用于更廣泛的場景。
Projection（名詞）
核心含義是“投射”或“映射”，具體包括：
- 幾何/數學：将高維數據映射到低維空間（如正交投影）。
- 心理學：将自身情感歸因于他人（心理投射）。
- 地理學：地圖投影（如墨卡托投影）。
- 工程學：信號或圖像的投影技術（如投影矩陣）。

2. 組合含義

“Generalized projection”通常指對傳統投影方法的擴展或泛化，例如：

數學領域：将線性投影推廣到非線性或更複雜的空間結構（如流形投影）。
計算機視覺：處理非理想條件下的圖像映射（如畸變校正）。
信號處理：從高維數據中提取廣義特征（如主成分分析的擴展形式）。

3. 應用場景示例

例1：在機器學習中，廣義投影技術可用于降維，適應非線性數據分布（如核方法）。
例2：在地球科學中，廣義地圖投影可處理不規則地形的建模。

該術語強調方法的普適性與擴展性，需結合具體領域進一步理解。如需更專業的定義，建議參考數學或工程領域的文獻。

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