高斯消去法，高斯消元法
Floating point representation, Gaussian elimination with partial pivoting, scaling of computations with matrix size, banded and tri-diagonal systems, LU decomposition.
浮點數表示法，含部份換軸之高斯消去法，使用矩陣大小之計算尺度調整，帶狀及三角對角系統，LU分解。
This paper is to introduce another solution to operation method expressed in tables of transportation problem with the knowledge of Gaussian elimination and dynamic programming.
用高斯消去法和動态規劃的知識介紹對運輸問題表上作業法的另一種解法。
|Gaussian reduction/Gauss elimination;高斯消去法，高斯消元法
高斯消元法（Gaussian Elimination）是線性代數中求解線性方程組的一種系統性方法，其核心思想是通過初等行變換将系數矩陣轉換為上三角矩陣或行最簡形，從而簡化方程求解過程。該方法由數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯提出，并在數值計算和工程領域廣泛應用。
增廣矩陣表示：将包含未知數的線性方程組轉換為增廣矩陣形式，例如方程組： $$ begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x_2 = b1 a{21}x1 + a{22}x_2 = b2 end{cases} $$ 對應的增廣矩陣為： $$ left[begin{array}{cc|c} a{11} & a_{12} & b1 a{21} & a_{22} & b_2 end{array}right] $$
前向消元：通過行交換、行倍乘或行加減操作，逐列消除主對角線以下的元素，最終形成上三角矩陣。例如消除第二行第一列的元素時，用第二行減去第一行的$frac{a{21}}{a{11}}$倍。
主元選擇：為避免計算誤差，通常會選擇當前列中絕對值最大的元素作為主元（Partial Pivoting），以增強數值穩定性。
回代求解：從最後一行開始，依次代入已求出的變量值，最終解出所有未知數。
該方法在電路分析、計算機圖形學（如三維坐标變換）、機器學習（如矩陣分解）等領域有重要應用。例如，在電力系統分析中，高斯消元法用于求解節點電壓方程。其改進版本如高斯-若爾當消元法還能直接生成行最簡形矩陣，進一步簡化計算。
參考資料：
高斯消元法（Gaussian Elimination）是一種用于求解線性方程組的系統性方法，其核心思想是通過行變換将系數矩陣轉換為上三角矩陣（行階梯形），再通過回代求解未知數。以下是詳細解釋：
将系數矩陣 ( A ) 和常數項向量 ( mathbf{b} ) 合并為增廣矩陣 ( [A|mathbf{b}] )。
逐列将矩陣轉換為上三角形式：
例如，對第 ( i ) 行和第 ( j ) 行（( j > i )）的操作公式為： $$ text{新行}j = text{原行}j - left( frac{a{ji}}{a{ii}} right) cdot text{行}i $$
從最後一行開始，依次代入已求出的未知數，解出剩餘未知數： $$ x_i = frac{bi - sum{k=i+1}^n a_{ik}xk}{a{ii}} $$
通過以上步驟，高斯消元法将複雜的線性方程組轉化為可逐步求解的簡單形式，成為科學計算和工程領域的基石工具。
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