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常用詞典

n. [數] 可微性；可辨性

例句

The modulus of non-differentiability of this kind of process is established.

本文将建立這類過程的不可微模及有關的極限定理。

The differentiability of the solution of impulsive flow in a hydraulic pipe due to impact are discussed.

本文首先讨論脈動流的撞擊液壓問題解的可微性。

This mark can even be dependent on the ingress interface so that higher differentiability can be achieved.

甚至能在進入接口上依賴這個标記以實現更高的可辨性。

The example that ultimately drove home the distinction between continuity and differentiability was given by him.

最終講明白連續性和可微性之間的區别的例子是由他給出的。

The continuity and differentiability are achieved by using cubic polynomial interpolation based on hard thresholding.

用三次多項式在硬阈值的基礎上插值，使新的阈值函數保持了連續性和可導性。

同義詞

n.|derivability/discriminability;[數]可微性；可辨性

專業解析

可微性（Differentiability） 是微積分中的核心概念，用于描述函數在某一點處是否存在導數。其本質是函數在該點的局部變化率能否被一個線性映射（即導數）精确刻畫。以下是詳細解釋：

一、數學定義

函數 ( f(x) ) 在點 ( x = a ) 處可微需滿足以下條件：

極限

$$

lim_{h to 0} frac{f(a+h) - f(a)}{h}

$$

存在且有限。該極限值即為函數在 ( a ) 點的導數，記作 ( f'(a) ) 或 ( frac{df}{dx}(a) )。

幾何意義：該極限表示函數圖像在點 ( (a, f(a)) ) 處存在唯一非垂直切線。

二、可微性與連續性的關系

• 可微必連續：若函數在 ( a ) 點可微，則其在 ( a ) 點必然連續（反之不成立）。

  反例：函數 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 處連續但不可微，因其左右導數不相等。

• 可微的強化條件：可微性要求函數不僅連續，還需在該點附近具有“光滑性”，無尖角或振蕩。

三、多元函數的推廣

對多元函數 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} )，可微性定義為：存線上性映射 ( L ) 使得

$$

lim_{mathbf{h} to 0} frac{f(mathbf{a} + mathbf{h}) - f(mathbf{a}) - L(mathbf{h})}{|mathbf{h}|} = 0.

$$

此時 ( L ) 稱為函數的全微分，其系數矩陣即梯度向量 ( abla f )。

意義：全微分是函數局部變化的最佳線性逼近。

四、應用意義

1. 優化問題：可微函數的最值點需滿足導數（或梯度）為零（如機器學習中的梯度下降法）。
2. 物理建模：速度是位移的導數，加速度是速度的導數（牛頓力學）。
3. 工程近似：利用微分進行誤差估計（如泰勒展開）。

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權威參考來源：

1. 教育部《數學分析》課程大綱（高等教育出版社）
2. 中國科學院數學與系統科學研究院《數學名詞》術語庫
3. MIT OpenCourseWare《Multivariable Calculus》課程講義（MIT官網公開資源）

網絡擴展資料

“Differentiability”（可微性）是數學分析中的一個核心概念，指函數在某一點或某區間内是否存在導數。以下是詳細解釋：

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1. 基本定義

• 可微性指函數( f(x) )在點( x=a )處存在導數，即極限： $$ f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ 存在且有限。若此極限存在，則稱( f(x) )在( x=a )處可微。

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2. 可微的條件

• 連續性：可微必連續，但連續不一定可微（例如，絕對值函數( |x| )在( x=0 )處連續但不可微）。
• 光滑性：函數在該點附近不能有“尖角”或“突變”（如分段函數的銜接點可能不可微）。
• 左右導數相等：左導數與右導數需存在且相等（例如，( f(x) = x )在所有點可微，但( f(x) = |x| )在( x=0 )處左導數≠右導數）。

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3. 幾何意義

• 可微性意味着函數圖像在點( x=a )處存在唯一的切線，切線的斜率即為導數( f'(a) )。不可微點的圖像可能呈現“斷裂”或“尖峰”（如分形曲線或階躍函數）。

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4. 應用場景

• 優化問題：可微函數可通過導數找到極值點（如梯度下降法）。
• 物理建模：描述平滑變化的現象（如速度、加速度）。
• 泰勒展開：可微性是構建局部線性近似的關鍵（泰勒多項式需導數存在）。

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5. 多元函數的可微性

• 對多元函數( f(x_1, x_2, dots, x_n) )，可微性要求所有偏導數存在且連續，或滿足更嚴格的全導數條件（即函數可被線性映射良好近似）。

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若需具體例子或進一步探讨可微性與積分、微分方程的關系，可補充說明。

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