餘向量
Its contraction is a covector.
其收縮是一個向量。
在數學的線性代數與微分幾何領域中，餘向量（covector）指代的是向量空間對偶空間中的元素，也稱為線性泛函。其核心定義與性質如下：
定義與數學表示
餘向量是從向量空間( V )到标量域( mathbb{R} )（或複數域( mathbb{C} )）的線性映射。若( V )是實數域上的向量空間，則所有餘向量構成的對偶空間記為( V^ )。例如，對于向量( mathbf{v} in V )和餘向量( alpha in V^ )，作用關系可表示為： $$ alpha(mathbf{v}) in mathbb{R}. $$
幾何意義
在幾何中，餘向量常表現為微分形式理論中的1-形式。例如，三維空間中，梯度算子生成的标量場微分( df )即是一個餘向量場，其作用于切向量時輸出該方向上的方向導數。
與向量的對偶關系
餘向量與向量的關系可通過基底表達進一步明确。若向量空間( V )有一組基底( {mathbf{e}_i} )，則對偶空間( V^* )存在對應的對偶基底( {mathbf{e}^j} )，滿足( mathbf{e}^j(mathbf{e}_i) = delta^j_i )（克羅内克函數）。這種對偶性為張量分析提供了基礎。
應用領域
餘向量在物理學和工程學中廣泛應用，例如經典力學中的廣義力（餘向量）與位移（向量）的做功計算，以及電磁學中電場強度與電勢梯度的關聯。
參考資料：
根據搜索結果的綜合信息，以下是關于“covector”的詳細解釋：
Covector（餘向量）是線性代數中的一個概念，指代線性泛函（linear functional），也稱為一階形式（one-form）。它表示從向量空間到标量域的線性映射。數學上可描述為： $$ alpha: V to mathbb{R} $$ 其中$alpha$需滿足線性條件： $$ alpha(mathbf{v} + mathbf{w}) = alpha(mathbf{v}) + alpha(mathbf{w}), quad alpha(amathbf{v}) = aalpha(mathbf{v}) quad (a in mathbb{R}) $$
在理論力學中，動量常被視為餘向量。這是因為動量是拉格朗日量對速度的導數，而速度作為向量，其導數自然屬于對偶空間。例如： $$ p_i = frac{partial L}{partial dot{q}^i} $$ 其中$p_i$是動量分量，$dot{q}^i$是速度分量。
進一步參考：如需更深入的數學推導或物理案例，可查看來源（線性泛函定義）、（分量變換）及（動量與餘向量關系）。
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