[數] 協方差矩陣
And what with the covariance matrix?
這樣的協方差矩陣？
How to plot contour of a covariance matrix of a gaussian distribution?
如何繪制一個高斯分布的協方差矩陣的輪廓？
The eigenvalue of covariance matrix can be used to separate signal from noise.
利用協方差矩陣的特征值。 能實現信號和噪聲的分解。
The estimation of noise covariance matrix is based on iterative procedure in ML.
最大似然法采用了疊代的方法來估計噪聲的協方差矩。
We can get the ellipticity and linearity from the eigenvalues of the covariance matrix.
由矩陣的特征值，求取橢圓率和線性因子。
協方差矩陣（covariance matrix）是統計學與概率論中用于描述多個隨機變量之間線性相關性的核心工具。其數學定義為：對于包含$p$個隨機變量的向量$mathbf{X} = (X_1,X_2,...,X_p)^T$，協方差矩陣$Sigma$的第$(i,j)$個元素為變量$X_i$與$Xj$的協方差： $$ Sigma{i,j} = text{Cov}(X_i,X_j) = mathbb{E}[(X_i-mu_i)(X_j-mu_j)] $$ 其中$mu_i$表示變量$X_i$的期望值。該矩陣對角線元素對應各變量的方差，非對角線元素則反映變量間的協方差關系。
在工程與數據分析領域，協方差矩陣具有以下關鍵特性：
典型應用包括：
根據美國國家标準與技術研究院（NIST）的統計手冊，樣本協方差矩陣的計算公式為： $$ S = frac{1}{n-1}sum_{k=1}^n (mathbf{x}_k - bar{mathbf{x}})(mathbf{x}_k - bar{mathbf{x}})^T $$ 其中$bar{mathbf{x}}$為樣本均值向量，$n$為觀測數據量。這種無偏估計方法在機器學習領域被廣泛應用于模式識别算法訓練。
協方差矩陣（Covariance Matrix）是統計學和概率論中用于描述多個隨機變量之間關系的核心工具。以下是詳細解釋：
協方差矩陣是一個對稱矩陣，其元素表示多個隨機變量兩兩之間的協方差。
假設有 $n$ 維隨機向量 $mathbf{X} = [X_1, X_2, dots, X_n]^T$，其協方差矩陣 $Sigma$ 定義為： $$ Sigma = begin{bmatrix} text{Var}(X_1) & text{Cov}(X_1, X_2) & cdots & text{Cov}(X_1, X_n) text{Cov}(X_2, X_1) & text{Var}(X_2) & cdots & text{Cov}(X_2, X_n) vdots & vdots & ddots & vdots text{Cov}(X_n, X_1) & text{Cov}(X_n, X_2) & cdots & text{Var}(X_n) end{bmatrix} $$ 其中，協方差 $text{Cov}(X_i, X_j) = E[(X_i - mu_i)(X_j - mu_j)]$，$mu_i$ 是 $X_i$ 的均值。
假設二維變量 $mathbf{X} = [X, Y]^T$，協方差矩陣為： $$ Sigma = begin{bmatrix} sigmaX & sigma{XY} sigma_{XY} & sigma_Y end{bmatrix} $$
協方差矩陣通過量化變量間的依賴關系，為理解複雜數據集的結構提供了數學基礎。
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