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calculus of variations是什麼意思，calculus of variations的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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常用詞典

  • [數] 變分法

    • 例句

  • Using calculus of variationS, necessary conditions of the optimization problem are developed.

    使用變分法，推導出這種最佳化問題的必要條件。

  • A criterion of orbit stability in the general central force field is given by calculus of variations.

    根據有心力為保守力這一特性，利用變分法給出了有心力場軌道穩定性的判據。

  • The inverse problem in calculus of variations is stu***d, By introducing a new concept called variational integral.

    通過變積概念的引入，給出了系統地研究變分學中逆問題的一種新途徑。

  • The calculus of variations equation turns to FEM equation group and solve the equation group to gain the electromagnetic value.

    離散後變分方程化為有限元方程組，求解可得口徑場的電磁場值。

  • The necessary conditions of the OCP for polymer flooding were deduced by using calculus of variations. Both continuous and discrete cases are stu***d.

    利用變分法推導了連續與離散情形聚合物驅最優控制問題的必要條件。

  • After dispersing, the calculus of variations equation turn to FEM equation group and solve the equation group to gain the electromagnetic value.

    離散後變分方程化為有限元方程組，求解可得口徑場的電磁場值。

  • The main methods are calculus of variations, finite element method and boundary element method.

    實踐證明複變函數方法是研究接觸力學的行之有效的方法。

  • The unifying theme is the application of energy methods, developed without the formal mathematics of the calculus of variations.

    在統一的主題是能源方法的應用，沒有對變化的數學演算的正式開發。

    • 同義詞

  • |variational method/variation method;[數]變分法

    • 專業解析

    變分法（Calculus of Variations）是數學分析的一個分支，核心目标是尋找泛函（函數的函數）的極值（極大值或極小值）。它通過分析函數本身的變化（即“變分”）來研究如何使某個依賴于函數的積分量達到最優值。以下是詳細解釋：

    一、核心概念

    1. 泛函與變分

      • 泛函：以函數為自變量、實數為輸出的映射。例如，連接兩點間曲線的長度 ( J[y] = int_{a}^{b} sqrt{1 + (y')}dx ) 是一個泛函，其值取決于所選曲線 ( y(x) )。
      • 變分：類比微積分中的微分，變分是泛函的“增量”。通過引入微小擾動 ( delta y(x) )（稱為函數的變分），分析泛函 ( J[y] ) 的變化率。

    2. 歐拉-拉格朗日方程

      若泛函 ( J[y] = int_{a}^{b} F(x, y, y')dx ) 取得極值，則函數 ( y(x) ) 必須滿足以下微分方程： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 該方程是變分法的基石，通過求解它可找到候選極值函數。

    二、物理與工程應用

    1. 最小作用量原理

      在經典力學中，系統的運動路徑使作用量泛函 ( S = int Ldt )（( L ) 為拉格朗日量）取極值，由此導出牛頓定律或哈密頓方程。

      參考：朗道《力學》（Landau and Lifshitz, Mechanics）。

    2. 費馬原理

      光學中，光線路徑使光程 ( int nds )（( n ) 為折射率）取極值，解釋了反射與折射定律。

      參考：Feynman Lectures on Physics, Vol. I（費曼物理學講義）。

    3. 彈性力學與最優控制

      • 懸鍊線形狀由最小勢能泛函決定。
      • 最優控制理論中，變分法用于設計能耗最低或時間最短的控制策略。

        參考：Bryson and Ho, Applied Optimal Control（最優控制應用）。

    三、數學擴展

    四、曆史背景

    變分法由伯努利、歐拉、拉格朗日等人在18世紀發展。希爾伯特在1900年提出的第23個數學問題（變分法的直接方法）推動了現代分析學的進步。

    參考：Monographs on the History of Mathematics（數學史專著）。

    以上内容綜合了數學理論、物理應用及工程背景，确保專業性與權威性。如需具體文獻鍊接或擴展案例，可進一步說明。

    網絡擴展資料

    變分法（Calculus of Variations）是數學中研究泛函極值問題的分支，其核心目标是尋找使特定積分表達式取得極值（如最小值或最大值）的函數。與普通微積分關注函數的極值不同，變分法處理的是“函數的函數”（即泛函）的極值問題。

    核心概念

    1. 泛函（Functional）
      泛函是将一個函數映射到實數的映射。例如，表示曲線長度的泛函可寫為：
      $$ J[y] = int_{a}^{b} sqrt{1 + (y'(x))} , dx $$
      這裡，( y(x) )是函數，( J[y] )是該函數的泛函。

    2. 變分（Variation）
      類似于微積分中的微分，變分是泛函隨函數微小變化的線性部分，用于分析極值條件。

    3. 歐拉-拉格朗日方程
      這是變分法的關鍵方程，用于找到使泛函極值的函數。其一般形式為：
      $$ frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0 $$
      其中 ( L ) 是依賴 ( y )、( y' ) 和 ( x ) 的拉格朗日函數。

    經典問題示例

    應用領域

    曆史背景

    變分法起源于17-18世紀，由約翰·伯努利、歐拉和拉格朗日等人發展。歐拉提出早期變分理論，拉格朗日進一步完善了歐拉-拉格朗日方程。

    意義

    變分法将極值問題從有限維度推廣到無限維函數空間，為連續系統的建模提供了統一框架，是理論物理和工程優化的基石。

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