bilinear是什麼意思，bilinear的意思翻譯、用法、同義詞、例句

bilinear英标

英:/'baɪ'lɪnɪə/ 美:/'baɪˈlɪnɪər/

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專業解析

雙線性（Bilinear） 是數學（特别是線性代數和多重線性代數）中的一個重要概念，描述了一種函數或映射在兩個變量上分别具有線性的特性。具體來說：

1. 定義：一個函數 ( f: V times W rightarrow X )（其中 ( V, W, X ) 是定義在同一個域（如實數域 (mathbb{R}) 或複數域 (mathbb{C})）上的向量空間）被稱為雙線性的，如果它滿足以下兩個條件：

   • 對第一個變量線性：固定第二個變量 ( w in W )，函數 ( f(cdot, w): V rightarrow X ) 是線性映射。即對于任意 ( v_1, v_2 in V ) 和标量 ( a )，有： $$ f(v_1 + v_2, w) = f(v_1, w) + f(v_2, w) $$ $$ f(a v_1, w) = a f(v_1, w) $$
   • 對第二個變量線性：固定第一個變量 ( v in V )，函數 ( f(v, cdot): W rightarrow X ) 是線性映射。即對于任意 ( w_1, w_2 in W ) 和标量 ( b )，有： $$ f(v, w_1 + w_2) = f(v, w_1) + f(v, w_2) $$ $$ f(v, b w_1) = b f(v, w_1) $$ 簡而言之，雙線性函數在分别固定一個變量時，對另一個變量是線性的。

2. 關鍵特性：

   • 雙線性性：這是其核心特性，如上述定義所示。
   • 對稱性與交錯性：雙線性函數可以是對稱的（( f(v, w) = f(w, v) ) 對所有 ( v, w )）、反對稱的（( f(v, w) = -f(w, v) )）或交錯的（( f(v, v) = 0 )），也可以不具備這些性質。對稱雙線性形式在定義内積（要求正定性）和二次型中至關重要。

3. 常見例子：

   • 矩陣乘法：考慮向量空間 ( M{m times n}(mathbb{R}) )（m x n實矩陣）和 ( M{n times p}(mathbb{R}) )，函數 ( f(A, B) = A times B )（矩陣乘法）是雙線性的。固定矩陣A，乘法對B是線性的；固定B，乘法對A也是線性的。
   • 點積（标準内積）：在歐幾裡得空間 (mathbb{R}^n) 中，點積 ( f(mathbf{v}, mathbf{w}) = mathbf{v} cdot mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + dots + v_nw_n ) 是一個對稱的雙線性函數（并且是正定的）。
   • 雙線性形式：一般地，定義在向量空間V上的雙線性函數稱為雙線性形式（Bilinear Form），例如 ( f(mathbf{x}, mathbf{y}) = x_1y_1 - 2x_2y_2 ) 是 (mathbb{R}) 上的一個雙線性形式。

4. 應用領域：

   • 線性代數：雙線性形式是研究向量空間結構、二次型、内積空間（如希爾伯特空間）的基礎工具。
   • 微分幾何：在流形上，黎曼度量是一個光滑的、對稱的、正定的雙線性形式場。
   • 工程與物理：在系統理論（如雙線性系統）、信號處理、物理學（如描述張量運算）等領域有廣泛應用。

參考資料：

1. Wolfram MathWorld - Bilinear: https://mathworld.wolfram.com/Bilinear.html (權威數學百科全書)
2. Springer Online Reference Works - Bilinear Form: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bilinear_form (數學百科全書條目)
3. MIT OpenCourseWare - Linear Algebra (Strang) - Lecture Notes: https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/mit18_06s10_lec27/ (知名大學課程資料，涉及對稱矩陣、二次型與雙線性形式關系)

網絡擴展資料

根據多部權威詞典和學科資料，bilinear（發音：英/baɪˈlɪnɪə/，美/baɪˈlɪnɪr/）是一個數學和計算機科學領域的術語，具體解釋如下：

核心定義

bilinear 是形容詞，意為“雙線性的”，指在兩個變量或方向上均保持線性關系。例如，若函數 ( f(x,y) ) 滿足以下條件，則稱為雙線性函數：

• 當固定 ( x ) 時，( f(x,y) ) 是 ( y ) 的線性函數；
• 當固定 ( y ) 時，( f(x,y) ) 是 ( x ) 的線性函數。

數學與計算機科學中的應用

1. 雙線性插值（Bilinear Interpolation）
   用于圖像處理中的縮放或旋轉操作，通過相鄰四個像素點的加權平均計算新像素值。例如：将低分辨率圖像放大時保持平滑過渡。

2. 雙線性映射（Bilinear Mapping）
   在密碼學中，雙線性配對（如橢圓曲線上的配對運算）被用于身份加密和數字簽名方案。

3. 雙線性形式（Bilinear Form）
   數學中的一種函數形式，如向量空間中的内積運算，滿足對兩個向量的線性性質。

常見搭配與擴展

• 技術術語：bilinear transformation（雙線性變換）、bilinear filtering（雙線性濾波）、bilinear model（雙線性模型）。
• 反義詞：nonlinear（非線性）、multilinear（多線性）。

例句

• 圖像處理領域：
  Bilinear interpolation reduces jagged edges when enlarging images.（雙線性插值可在放大圖像時減少鋸齒邊緣）。
• 密碼學領域：
  Bilinear pairings enhance security in identity-based encryption.（雙線性配對提升了基于身份的加密安全性）。

如需更詳細的數學公式或應用案例，可參考相關學術文獻或專業教材。

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