arctan是什麼意思，arctan的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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反正切函數（arctan）是數學中三角函數的反函數之一，其全稱為“反正切函數”，符號表示為$arctan(x)$或$tan^{-1}(x)$。它的定義為：對于任意實數$x$，$arctan(x)$的值是滿足$tan(theta) = x$且在區間$(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$内的唯一角度$theta$。例如，$arctan(1) = frac{pi}{4}$，因為$tan(frac{pi}{4}) = 1$。

在工程和物理學中，arctan函數常用于解決與角度相關的實際問題。例如，在電路分析中，計算阻抗相位角時需用到arctan函數；在機器人學中，通過坐标變換求解關節角度也需要此函數。其圖像呈“S”形曲線，關于原點對稱，且具有漸近線$y = pmfrac{pi}{2}$。

數學性質方面，arctan函數的導數為： $$ frac{d}{dx} arctan(x) = frac{1}{1+x} $$ 這一性質在微積分和信號處理領域有重要應用，例如在求解微分方程或設計濾波器時。此外，複數域中的arctan函數可通過對數函數擴展定義，用于處理更複雜的數學問題。

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“arctan”是數學中反正切函數（Arctangent Function）的縮寫，是正切函數（tan）的反函數。以下從多個角度詳細解釋其含義和應用：

1. 基本定義

• 正切函數的逆運算：正切函數定義為 (tantheta = frac{text{對邊}}{text{鄰邊}} = frac{y}{x})（在直角三角形中）。而arctan 的作用是已知比值 (y/x)，求對應的角度 (theta)。
  公式：
  $$ theta = arctanleft(frac{y}{x}right) $$

2. 定義域與值域

• 定義域：所有實數（(-infty) 到 (+infty)），因為任何實數都可以表示為某個角度的正切值。
• 值域：限制在 (-frac{pi}{2}) 到 (+frac{pi}{2})（即 (-90^circ) 到 (+90^circ)），這是為了确保函數為單值函數（一一對應）。

3. 與“atan2”的區别

• atan2(y, x)：一種更通用的計算角度的函數，能根據 (x) 和 (y) 的符號确定角度所在的象限，返回值的範圍為 (-pi) 到 (+pi)。
  示例：
  • (arctan(1) = frac{pi}{4})（僅返回正值），而 atan2(1,1) 也會返回 (frac{pi}{4})，但 atan2(-1,-1) 返回 (-frac{3pi}{4})。

4. 應用場景

• 幾何學：計算直角三角形的未知角度（已知兩條直角邊）。
• 物理學：分析力的方向或運動軌迹的傾斜角。
• 工程學：在控制理論中用于相位計算或坐标變換。

5. 數學性質

• 導數公式：
  $$ frac{d}{dx} arctan(x) = frac{1}{1 + x} $$
• 積分公式：
  $$ int frac{1}{1 + x} , dx = arctan(x) + C $$
• 級數展開（泰勒展開）：
  $$ arctan(x) = x - frac{x}{3} + frac{x}{5} - frac{x}{7} + cdots quad (|x| leq 1) $$

arctan 是解決角度計算問題的核心工具之一，尤其在涉及直角三角形或極坐标系的問題中。需注意它與 atan2 的區别，以及值域的限制（僅輸出 (-90^circ) 到 (+90^circ) 的角度）。

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