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常用詞典

幾乎所有

例句

We use files almost everywhere.

文件的使用無處不在。

It's almost everywhere the same thing.

幾乎到處都是同樣的問題。

Good examples are really almost everywhere.

好的例子實際上幾乎到處都有。

Almost everywhere, success is inequitably Shared.

幾乎任何地方，經濟成就并未被公平分享。

Similar horror stories are unfolding almost everywhere.

同樣恐怖的事幾乎到處都有。

專業解析

在測度論與實分析中，“almost everywhere”（幾乎處處）是一個重要的術語，用于描述某個性質在定義域的“幾乎所有點”上成立，僅排除一個測度為零的例外集。以下是其詳細解釋：

1.數學定義

設有一個測度空間 $(X, mathcal{F}, mu)$，若某性質 $P(x)$ 在集合 $E subseteq X$ 上成立，且 $mu(X setminus E) = 0$，則稱 $P(x)$ 在 $X$ 上幾乎處處成立。例如，若函數 $f$ 和 $g$ 滿足 $mu({x | f(x) eq g(x)}) = 0$，則稱 $f = g$ 幾乎處處。

2.直觀例子

• Dirichlet函數：在有理數點取1、無理數點取0的函數，雖然處處不連續，但它在實數軸上幾乎處處等于0（因為無理數集的Lebesgue測度為1，而有理數集測度為0）。
• 階梯函數：若兩個可積函數僅在一個可數點上取值不同，則它們在積分意義下視為“幾乎處處相等”。

3.應用領域

• 概率論：描述隨機變量“幾乎必然”發生的事件（如強大數定律）。
• 微分方程：解的存在性常以幾乎處處滿足方程的形式出現。

4.與“everywhere”的區别

“幾乎處處”允許存在例外點，但要求例外點的測度為零；而“everywhere”要求性質在所有點嚴格成立。例如，連續函數修改某單個點的值後，新函數與原函數仍幾乎處處相等，但不再處處相等。

參考文獻

• 維基百科《Almost everywhere》詞條（鍊接）
• 《Real Analysis》by H.L. Royden（第4版，3.3節）
• Wolfram MathWorld相關定義（鍊接）

網絡擴展資料

“almost everywhere”（幾乎處處）是數學分析、測度論和概率論中的重要術語，主要用于描述某個性質在特定空間中的“幾乎全部”點成立，僅允許在測度為零的例外集上不成立。以下是詳細解釋：

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1. 嚴格定義

在測度論中，若一個性質在可測空間 ( (X, Sigma, mu) ) 上滿足：

• 存在一個測度為零的集合 ( N subseteq X )（即 ( mu(N) = 0 )），
• 該性質在 ( X setminus N )（即 ( X ) 中除去 ( N ) 的部分）的所有點成立，

則稱該性質在 ( X ) 上幾乎處處成立（almost everywhere，簡稱 a.e.）。

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2. 直觀理解

• “幾乎”的含義：允許存在例外點，但這些例外點的集合對整體測度（如長度、面積、體積等）沒有貢獻。
• 經典例子：
  • Dirichlet函數：在有理數點取1，無理數點取0。因為有理數集的Lebesgue測度為0，所以Dirichlet函數“幾乎處處”等于0。
  • 函數的可積性：若兩個函數在幾乎處處相等的意義下相同，則它們的積分值相同。

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3. 與其他術語的關聯

• 概率論中的對應：概率論中“almost surely”（幾乎必然）是“almost everywhere”的同義詞，但基于概率測度。
• 拓撲中的類似概念：與“稠密集”或“處處連續”不同，“幾乎處處”關注測度而非拓撲結構。

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4. 應用場景

• 積分理論：若函數 ( f ) 和 ( g ) 幾乎處處相等，則 ( int f , dmu = int g , dmu )。
• 微分方程：解的存在性可能在幾乎處處的意義下成立。
• 實分析定理：如Lusin定理表明，可測函數在去掉一個測度任意小的集合後是連續的。

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5. 注意事項

• 測度的依賴性：“幾乎處處”的具體含義依賴于所選測度。例如，在計數測度下，隻有空集的測度為0，此時“幾乎處處”等價于“處處”。
• 例外集的性質：例外集可能是不可數的（如Cantor集），但其測度仍可為0。

如果需要進一步探讨具體應用或定理，可以提供更多上下文。

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