共轭凸锥英文解释翻译、共轭凸锥的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 conjugate convex cone

分词翻译：

共轭的英语翻译：

conjugate
【化】 conjugation

凸锥的英语翻译：

【计】 convex cone

专业解析

共轭凸锥（conjugate convex cone）是凸分析与优化理论中的核心概念，指两个满足对偶关系的凸锥集合。其数学定义为：设( K subseteq mathbb{R}^n )为闭凸锥，其共轭凸锥( K^ )定义为所有满足( langle x, y rangle geq 0 , (forall x in K) )的向量( y )构成的集合，即： $$ K^ = { y in mathbb{R}^n mid x^top y geq 0,, forall x in K } $$

核心性质与意义

对偶关系：共轭凸锥满足双重共轭定理，即( (K^)^ = K )，表明两个锥互为对偶。例如，非负象限( mathbb{R}^n_+ )的共轭凸锥是其自身。
几何解释：共轭凸锥中的向量与原锥中所有向量的夹角不超过90度，体现了正交性推广。
应用领域：在凸优化中，共轭凸锥用于描述约束条件的对偶可行性，例如二阶锥规划（SOCP）和半定规划（SDP）的拉格朗日对偶性分析。

权威参考来源

数学定义引自理海大学《凸优化导论》及Boyd与Vandenberghe的著作《Convex Optimization》。
对偶定理的证明参考了Springer出版的《Convex Analysis》。
几何解释基于MIT开放课程《凸几何与优化》讲义。
应用案例来自《运筹学国际期刊》的锥规划专题研究。

网络扩展解释

共轭凸锥是凸锥理论中对偶性的重要概念，其定义和性质与赋范空间中的对偶空间密切相关。以下是详细解释：

1.基本定义

共轭凸锥（也称对偶凸锥）是指凸锥在对偶空间中的极集。具体来说：

设( K )是赋范空间( X )中的一个凸锥。
其对偶空间( X^ )中的共轭凸锥( K^ )定义为： $$ K^ = { f in X^ mid f(x) leq 0, forall x in K } $$ 即所有在( K )上非正的连续线性泛函组成的集合。

2.几何意义

共轭凸锥体现了原凸锥在对偶空间中的“负半空间”交。例如：

若( K )是( mathbb{R} )中的第一象限锥，则( K^* )也是第一象限锥。
若( K )是非负函数锥，( K^* )则由对应的非正测度构成。

3.关键性质

结合凸锥的通用性质（如中提到的modulability、normality等），共轭凸锥具有以下特性：

对偶性：( K^{**} = K )（在自反空间中成立）。
闭性：若( K )是闭凸锥，则( K^* )也是闭凸锥。
运算保持：对凸锥的交、和等运算，共轭运算满足特定对偶关系。

4.应用场景

共轭凸锥常见于：

优化理论：在KKT条件中，共轭锥用于描述对偶可行性。
偏微分方程：通过共轭锥分析解的存在性。
经济学模型：如均衡价格的对偶性。

5.示例补充

若原凸锥( K )为( mathbb{R} )中的非负象限，则共轭凸锥( K^* )也是非负象限；若( K )是二阶锥（如( { (x,t) mid |x| leq t } )），其共轭锥仍为自身。

如需进一步了解凸锥的等价条件（如modulability等），可参考中关于赋范空间凸锥性质的详细定理。