二项式系数英文解释翻译、二项式系数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 binomial coefficient; binomial factor
【经】 binomial coefficient

分词翻译：

二项式的英语翻译：

binomial

系数的英语翻译：

coefficient; modulus; quotiety
【计】 coefficient
【化】 coefficient
【医】 coefficient; quotient
【经】 coefficient; parameter; quotient

专业解析

二项式系数（Binomial Coefficient）是组合数学中表示从$n$个不同元素中选取$k$个元素组合方式数量的核心概念，其标准表达式为： $$ C(n,k) = frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 在二项式定理中，该系数作为展开式$(a+b)^n$的项前乘数出现，因此得名。英语中对应的术语为"Combination"或"n choose k"，记作$dbinom{n}{k}$。

数学特性包含对称性$dbinom{n}{k} = dbinom{n}{n-k}$和递推公式$dbinom{n}{k} = dbinom{n-1}{k} + dbinom{n-1}{k-1}$。这些性质在概率计算、统计建模领域具有重要应用，例如计算二项分布概率质量函数。

实际应用主要分布在三个领域：

组合数学：计算扑克牌型组合数
计算机科学：算法中的动态规划问题
统计学：质量检验的抽样方案设计

该概念最早由10世纪印度数学家提出，后经帕斯卡在《算术三角形》中系统阐述，现代教材普遍采用美国数学协会推荐的符号标准。

参考文献：

剑桥大学数学词典, 2023版

概率论与数理统计（茆诗松著）

美国数学协会官网 AMS.org

网络扩展解释

二项式系数是组合数学中的核心概念，通常用符号 $dbinom{n}{k}$ 表示，读作“n 选 k”。以下是详细解释：

1. 定义与公式

二项式系数表示从n 个不同元素中选取 k 个元素的组合方式数，其计算公式为： $$ dbinom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 其中：

$n!$ 是 n 的阶乘（即 $n times (n-1) times cdots times 1$），
$k$ 和 $n-k$ 的阶乘用于消除重复计数（因选取顺序不影响结果）。

2. 组合意义

组合数：二项式系数直接对应“组合”问题，例如从 5 人中选 2 人的方法数为 $dbinom{5}{2} = 10$。
与排列的区别：排列数 $P(n,k) = frac{n!}{(n-k)!}$ 考虑顺序，而组合数 $dbinom{n}{k}$ 不考虑顺序。

3. 二项式定理中的应用

二项式系数是二项式展开式 $(a + b)^n$ 的系数，例如： $$ (a + b) = dbinom{3}{0}a + dbinom{3}{1}ab + dbinom{3}{2}ab + dbinom{3}{3}b = a + 3ab + 3ab + b $$ 展开后各项的系数依次为 $dbinom{3}{0}, dbinom{3}{1}, dbinom{3}{2}, dbinom{3}{3}$，即 1, 3, 3, 1。

4. 重要性质

对称性：$dbinom{n}{k} = dbinom{n}{n-k}$（如 $dbinom{5}{2} = dbinom{5}{3} = 10$）。
递推关系：$dbinom{n}{k} = dbinom{n-1}{k-1} + dbinom{n-1}{k}$（帕斯卡三角形生成规则）。
最大值：当 $k = lfloor n/2 rfloor$ 时，二项式系数达到最大值。

5. 实际应用

概率论：计算二项分布中事件发生 k 次的概率。
组合优化：解决分组、路径计数等问题。
计算机科学：算法设计（如动态规划中的组合计算）。

如需进一步学习，可参考组合数学教材或相关数学工具书。