互反律英文解释翻译、互反律的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 reciprocity law

分词翻译：

互的英语翻译：

each other; mutual

反的英语翻译：

in reverse; on the contrary; turn over
【医】 contra-; re-; trans-

律的英语翻译：

law; restrain; rule

专业解析

在数学领域，互反律 (Reciprocity Law) 是一个核心概念，尤其在数论中占有极其重要的地位。它揭示了素数模二次剩余之间深刻的对称关系。以下是其详细解释：

术语定义与核心含义
- 中文术语：互反律 (Hù fǎn lǜ)
- 英文术语： Reciprocity Law (特别指二次互反律时，常称为Quadratic Reciprocity Law)
- 核心含义：互反律描述了两个不同奇素数 p 和 q 之间的一种“互惠”关系。它解答了这样一个问题：如果我知道其中一个素数是否是模另一个素数的二次剩余（即某个整数的平方除以该素数后的余数），那么我能否判断另一个素数是否是模第一个素数的二次剩余？互反律给出了一个优美的公式来回答这个问题，表明这种关系在 p 和 q 之间是相互的（或“互反”的），但需考虑一个由 p 和 q 决定的符号。
数学表述 (二次互反律) 最著名和应用最广泛的互反律是二次互反律 (Quadratic Reciprocity Law)。其标准表述如下：设 p 和 q 是两个不同的奇素数，则有： $$ left(frac{p}{q}right) left(frac{q}{p}right) = (-1)^{frac{p-1}{2} cdot frac{q-1}{2}} $$ 其中：
- left(frac{p}{q}right) 是勒让德符号 (Legendre symbol)，其值为：
  - +1 如果 p 是模 q 的二次剩余（即存在整数 x 使得 x² ≡ p mod q 成立），
  - -1 如果 p 是模 q 的二次非剩余，
  - 0 如果 p 能被 q 整除（但此处 p 和 q 为不同奇素数，故此情况不出现）。
- left(frac{q}{p}right) 同理，表示 q 模 p 的勒让德符号。
- 指数 frac{p-1}{2} cdot frac{q-1}{2} 决定了乘积符号 (-1) 的幂次。该乘积符号为 +1 当且仅当指数为偶数，即 (-1) 的幂次为偶数；为 -1 当且仅当指数为奇数，即 (-1) 的幂次为奇数。等价表述： $$ left(frac{p}{q}right) = begin{cases} -left(frac{q}{p}right) & text{如果 } p equiv q equiv 3 pmod{4} +left(frac{q}{p}right) & text{否则} end{cases} $$ 这个表述更直观地体现了“互反”：在大多数情况下（即 p 和 q 不同时为 4k+3 型素数），p 模 q 的二次剩余性与 q 模 p 的二次剩余性相同；只有当 p 和 q 都是 4k+3 型素数时，两者的二次剩余性相反。
历史背景与重要性
- 二次互反律最早由欧拉（Leonhard Euler）和勒让德（Adrien-Marie Legendre）提出猜想。
- 高斯（Carl Friedrich Gauss）在1796年（时年19岁）首次给出了严格的证明，并在其著作《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中详细阐述。高斯一生共给出了该定律的多个不同证明，足见其重要性。
- 它是初等数论的里程碑式定理，极大地简化了判断一个数是否是模某个素数的二次剩余的计算过程（通过将其分解为判断更小模数的二次剩余性）。
- 它启发了大量后续研究，催生了更高次的互反律（如三次、四次互反律），并成为现代代数数论、类域论发展的核心动力之一。互反律是连接初等数论和高等数论的桥梁。
应用领域
- 二次剩余判定：是计算勒让德符号和雅可比符号（Jacobi symbol，勒让德符号的推广）的基础工具。
- 素数判定与分解：在部分素性测试和整数分解算法中有理论意义。
- 丢番图方程：用于研究某些二次不定方程的解的存在性。
- 代数数论：是研究数域中素数分解规律的关键。

权威参考来源：

高斯 (Carl Friedrich Gauss), 《算术研究》 (Disquisitiones Arithmeticae), 1801。这是二次互反律的第一个完整证明和系统阐述的原始文献，具有无与伦比的历史和学术地位。可在各大数学史或经典著作数据库查找（如欧文斯谷射电天文台的Gauss Project或各大图书馆电子资源）。
哈代 (G.H. Hardy), 赖特 (E.M. Wright), 《数论导引》 (An Introduction to the Theory of Numbers), 牛津大学出版社。这部经典教材的第6章对二次互反律有清晰、严谨且详尽的介绍和证明，被全球众多高校采用。可在牛津大学出版社官网或各大在线书店查阅。
爱尔兰 (Kenneth Ireland), 罗森 (Michael Rosen), 《数论经典导引》 (A Classical Introduction to Modern Number Theory), 施普林格出版社 (Graduate Texts in Mathematics)。这是一本广受好评的高等数论教材，其第5章深入讨论了互反律（包括二次及更高次），内容深刻且现代。可在施普林格出版社官网或各大在线书店查阅。

网络扩展解释

互反律（Reciprocity Law）是数论中的一个核心定理，主要用于研究二次剩余（即某个数是否是模素数的平方数）之间的关系。其核心思想是建立两个不同素数之间的二次剩余性质的对称性联系。以下是详细解释：

1. 二次互反律的基本形式

定理陈述：
设 ( p ) 和 ( q ) 为两个不同的奇素数，则它们的勒让德符号（Legendre symbol）满足：
$$ left( frac{p}{q} right) left( frac{q}{p} right) = (-1)^{frac{(p-1)(q-1)}{4}}. $$
其中：

若 ( left( frac{a}{p} right) = 1 )，则 ( a ) 是模 ( p ) 的二次剩余；
若 ( left( frac{a}{p} right) = -1 )，则 ( a ) 不是模 ( p ) 的二次剩余。

意义：
该公式表明，当 ( p ) 和 ( q ) 中至少有一个满足 ( p equiv 1(text{mod}4) ) 或 ( q equiv 1(text{mod}4) ) 时，( left( frac{p}{q} right) = left( frac{q}{p} right) )；否则两者符号相反。

2. 应用示例

问题：判断 ( 3 ) 是否是模 ( 5 ) 的二次剩余，以及 ( 5 ) 是否是模 ( 3 ) 的二次剩余。
解答：

直接计算：
- ( 3 mod 5 ) 的平方可能值为 ( 1=1 )、( 2=4 )，均不等于 ( 3 )，故 ( 3 ) 不是模 ( 5 ) 的二次剩余。
- ( 5 mod 3 ) 的平方可能值为 ( 1=1 )，也不等于 ( 2 )，故 ( 5 ) 不是模 ( 3 ) 的二次剩余。
用互反律验证：
- 根据公式：( left( frac{3}{5} right) left( frac{5}{3} right) = (-1)^{frac{(3-1)(5-1)}{4}} = (-1) = 1 )。
- 实际结果 ( left( frac{3}{5} right) = -1 )，( left( frac{5}{3} right) = -1 ），乘积为 ( 1 )，符合定理。

3. 历史与扩展

高斯贡献：高斯在18世纪首次完整证明二次互反律，并称其为“数论之母”。
高次互反律：后续数学家（如希尔伯特、阿廷）将互反律推广到高次幂（如三次、四次剩余），形成现代类域论的基础。
应用领域：互反律在密码学（如RSA算法）、代数数论中均有重要应用。

4. 直观理解

互反律的本质是揭示素数间的深层对称性。例如：

若 ( p equiv 1(text{mod}4) )，则 ( p ) 作为二次剩余的性质更“友好”；
若 ( p equiv 3(text{mod}4) )，则需考虑符号的交替性。

互反律是数论中连接不同素数二次剩余性质的桥梁，其简洁的公式背后蕴含深刻的数学对称性。通过它，复杂的二次剩余判断可转化为简单的符号运算，极大推动了数论和代数学的发展。