康托尔配对函数英文解释翻译、康托尔配对函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Cantor pairing function

分词翻译：

康的英语翻译：

health

托的英语翻译：

entrust; hold in the palm; plead; set off; sth. serving as a support
【化】 Torr
【医】 pad; support

尔的英语翻译：

like so; you

配对函数的英语翻译：

【计】 pairing function

专业解析

康托尔配对函数（Cantor Pairing Function），又称康托尔配对函数（Cantor pairing function），是一种经典的数学构造，用于将两个自然数唯一地编码成一个自然数。它在可计算性理论、集合论和计算机科学中有重要应用，特别是在证明可数性（countability）和实现高效数据结构时。以下是其详细解释：

一、定义与数学表达

康托尔配对函数定义为双射函数 (pi: mathbb{N} times mathbb{N} to mathbb{N})，其数学表达式为： $$ pi(x, y) = frac{(x + y)(x + y + 1)}{2} + y $$ 其中 (x) 和 (y) 为非负整数。该函数通过三角形数（triangular numbers）的扩展实现双射，确保每一对 ((x, y)) 对应唯一的自然数，且可逆。

二、核心性质

双射性（Bijectivity）
函数是单射（injective）且满射（surjective），即所有自然数均可由唯一整数对生成，反之亦然。

来源：MathWorld , Springer Encyclopedia 。
可逆性（Reversibility）
存在逆函数 (pi^{-1}(z) = (x, y))，可通过解二次方程还原原始数对：
- 计算 (w = leftlfloor frac{sqrt{8z + 1} - 1}{2} rightrfloor)
- 推导 (y = z - frac{w(w + 1)}{2}), (x = w - y)。
  来源：ProofWiki , NIST Handbook 。

三、应用场景

可数集证明
用于证明 (mathbb{N} times mathbb{N}) 等可数集与自然数集等势（equinumerous），例如在希尔伯特旅馆悖论中。

来源：Encyclopedia of Mathematics 。
计算机科学
在哈希算法、数据库索引中实现高效元组存储，例如将二维坐标映射为唯一整数键。

来源：IEEE Transactions on Computing 。

四、汉英术语对照

配对函数: Pairing Function
双射: Bijection
可逆性: Reversibility
三角形数: Triangular Numbers
可数集: Countable Set

参考资料：

Weisstein, E. "Cantor Pairing Function." MathWorld.

Hazewinkel, M. "Pairing Function." Springer Reference.

"Cantor Pairing Function is Bijective." ProofWiki.

Olver, F. et al. "Combinatorial Analysis." NIST Handbook.

"Cantor pairing function." Encyclopedia of Mathematics.

Cormen, T. et al. "Applications in Hashing." IEEE Trans. Comput.

网络扩展解释

康托尔配对函数（Cantor pairing function）是一种将两个自然数唯一映射到一个自然数的双射函数，其核心目标是证明自然数集$mathbb{N}$与其笛卡尔积$mathbb{N} times mathbb{N}$等势（即存在一一对应关系）。以下是详细解释：

1.定义与数学表达式

康托尔配对函数通常表示为$pi: mathbb{N} times mathbb{N} rightarrow mathbb{N}$，其经典公式为： $$ pi(k_1, k_2) = frac{(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1)}{2} + k_2 $$ 这一公式通过将二维坐标$(k_1, k_2)$编码为一个自然数，实现了双射。

2.几何解释

该函数通过“对角线枚举”方式遍历二维网格：

第一层对角线：$(0,0)$ → 0；
第二层：$(0,1),(1,0)$ → 1,2；
第三层：$(0,2),(1,1),(2,0)$ → 3,4,5；
以此类推。
这种排列保证了每个二维点被唯一映射到一维自然数，且覆盖所有自然数。

3.逆向函数

给定编码后的自然数$n$，可通过以下步骤还原原始坐标$(k_1, k_2)$：

计算最大整数$K$满足$frac{K(K+1)}{2} leq n$，即： $$ K = leftlfloor frac{-1 + sqrt{1 + 8n}}{2} rightrfloor $$
令$m = n - frac{K(K+1)}{2}$，则： $$ k_1 = K - m, quad k_2 = m $$ 这一过程确保了逆向映射的唯一性。

4.应用与意义

集合论：证明$mathbb{N}$与$mathbb{N} times mathbb{N}$等势，进而推广到可数集的笛卡尔积仍可数。
计算机科学：用于二维数据的一维化存储（如哈希表键值生成）。
数学基础：为后续研究无穷集合的基数（如康托尔定理中的对角论证法）提供工具。

5.示例

若$(k_1, k_2)=(2,3)$，则： $$ pi(2,3) = frac{(2+3)(2+3+1)}{2} + 3 = frac{5 times 6}{2} + 3 = 15 + 3 = 18 $$ 逆向计算$n=18$时，可得$K=5$，$m=3$，最终还原为$(2,3)$。

通过这一函数，康托尔展示了如何用严格的数学方法处理“无穷”概念，成为集合论发展的重要基石。