矩阵范数英文解释翻译、矩阵范数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix norm

分词翻译：

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

范的英语翻译：

model; pattern

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

矩阵范数（matrix norm）是数学中用于量化矩阵“大小”或“强度”的一种函数，广泛应用于线性代数、数值分析和工程计算领域。其英文术语直接对应为“matrix norm”，核心定义为对任意矩阵赋予非负实数值的映射，需满足非负性、齐次性、三角不等式及乘法相容性（即$|AB| leq |A||B|$）。

常见矩阵范数类型

谱范数（spectral norm）
定义为矩阵最大奇异值，即$|A|2 = sigma{text{max}}(A)$，反映矩阵在向量空间中的最大拉伸效应。该范数在控制系统分析和信号处理中尤为重要（参考：MIT线性代数课程讲义）。
Frobenius范数（Frobenius norm）
计算方式为$|A|F = sqrt{sum{i,j} |a_{ij}|}$，等价于将矩阵视为向量后的欧几里得范数，常用于机器学习中的优化问题（参考：《矩阵计算》Gene H. Golub著）。
诱导范数（induced norm）
基于向量范数推导，例如$|A|_1 = max_j sumi |a{ij}|$（列和范数），与线性方程组的数值稳定性分析密切相关（参考：IEEE《数值分析汇刊》）。

应用与性质

矩阵范数在数值计算中用于评估算法误差（如矩阵求逆的精度），在控制理论中分析系统稳定性（通过矩阵谱半径与范数的关系）。其核心性质包括相容性、次乘性，以及与特征值、奇异值的关联性（参考：Springer《矩阵分析》教材）。

网络扩展解释

矩阵范数是衡量矩阵“大小”或“强度”的数学工具，满足非负性、齐次性、三角不等式等基本公理，且通常具有次乘性（即|AB| leq |A| cdot |B|）。以下是其核心概念和常见类型：

1. 矩阵范数的定义与性质

基本公理：
- 非负性：|A| ≥ 0，且|A|=0当且仅当A为零矩阵。
- 齐次性：|αA| = |α| cdot |A|（α为标量）。
- 三角不等式：|A+B| ≤ |A| + |B|。
- 次乘性（可选）：|AB| ≤ |A| cdot |B|（尤其用于矩阵乘法）。

2. 常见矩阵范数类型

（1）弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius范数）

定义：矩阵所有元素平方平方根： $$ |A|F = sqrt{sum{i=1}^m sum{j=1}^n |a{ij}|} $$
特点：类似向量的欧几里得范数，常用于优化问题（如矩阵分解）。

（2）诱导范数（由向量范数导出）

定义：通过向量范数推导出的矩阵范数： $$ |A|p = sup{x eq 0} frac{|Ax|_p}{|x|_p} $$
- 1-范数：列绝对最大值，|A|1 = max{j} sum{i} |a{ij}|。
- ∞-范数：行绝对最大值，|A|∞ = max{i} sum{j} |a{ij}|。
- 谱范数（2-范数）：最大奇异值，|A|2 = sigma{text{max}}(A)。

（3）核范数（Trace Norm）

定义：矩阵奇异值之和： $$ |A|* = sum{i=1}^r sigma_i $$ （r为矩阵的秩，σ_i为奇异值）
应用：用于低秩矩阵恢复问题。

3. 应用场景

数值分析：衡量矩阵运算中的误差（如线性方程组解的稳定性）。
机器学习：弗罗贝尼乌斯范数用于正则化（如矩阵分解模型）；核范数用于推荐系统。
控制理论：谱范数用于分析系统的鲁棒性。

示例对比

若矩阵 ( A = begin{pmatrix} 1 & 23 & 4 end{pmatrix} )：

|A|_F = sqrt{1 + 2 + 3 + 4} = sqrt{30} ≈ 5.477；
|A|_1 = max(1+3, 2+4) = 6；
|A|_∞ = max(1+2, 3+4) = 7；
|A|_2 ≈ 5.465（最大奇异值）。

通过选择不同范数，可适配具体问题的需求（如误差度量或计算效率）。