局部最大值英文解释翻译、局部最大值的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 local maximum

分词翻译：

局部的英语翻译：

part
【计】 L; LOC
【医】 mero-; topo-

最大值的英语翻译：

【计】 crest value; maximal value; maximum; maximum value
【化】 maximum; peak; peak value

专业解析

在数学分析中，局部最大值（Local Maximum）是指函数在某个特定区间或定义域的子集内达到的最大值。具体定义为：若存在点 ( x_0 ) 的某个邻域 ( (x_0 - delta, x_0 + delta) )，使得对于该邻域内所有 ( x ) 均有 ( f(x) leq f(x_0) )，则称 ( f(x_0) ) 为函数 ( f(x) ) 的一个局部最大值。

其英文术语为"local maximum" 或"relative maximum"，强调该极值仅在有限范围内成立，而非整个定义域的最大值（即全局最大值）。

核心特性与判定

存在性条件
若函数可导，局部最大值点需满足一阶导数 ( f'(x_0) = 0 )（临界点），且二阶导数 ( f''(x_0) < 0 )（凹向下）。不可导函数可能通过其他方法（如单调性分析）判定。
与全局最大值的区别
局部最大值仅在邻域内有效，而全局最大值需满足 ( f(x_0) geq f(x) )（定义域内所有 ( x )）。例如函数 ( f(x) = -x ) 在 ( x=0 ) 处既是局部也是全局最大值，但 ( f(x) = x - 3x ) 在 ( x=-1 ) 处为局部最大值，非全局最大值。
实际应用场景
- 优化问题：工程设计中寻找参数最优解（如机器学习模型训练）。
- 信号处理：识别信号峰值（如雷达检测目标距离）。
- 经济学：分析成本/收益曲线的极值点以制定决策。

权威定义参考

中文定义
《数学辞海》（第2卷）定义局部最大值为："设函数 ( f ) 在点 ( x_0 ) 的某邻域内有定义，若存在 ( delta > 0 ) 使得所有 ( |x - x_0| < delta ) 满足 ( f(x) leq f(x_0) )，则称 ( f(x_0) ) 为局部最大值。" 来源

英文定义
Wolfram MathWorld 描述："A local maximum occurs at a point where a function's value is greater than or equal to its immediate neighbors." 来源

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网络扩展解释

局部最大值是数学和优化问题中的重要概念，指函数在某个特定区域内的最大值点。以下是详细解释：

1.基本定义

局部最大值指函数在某点附近的小范围内达到的最大值。具体来说：

若存在一个包含点( x_0 )的区间（邻域），使得该区间内所有( x )满足( f(x) leq f(x_0) )，则称( x_0 )为函数的局部最大值点，对应的函数值( f(x_0) )为局部最大值。
若严格满足( f(x) < f(x_0) )（除( x_0 )外），则称为严格局部最大值。

2.与全局最大值的区别

全局最大值是函数在整个定义域内的最大值，而局部最大值仅针对某个邻域。
例如，函数( f(x) = -x )在( x=0 )处既是局部最大值也是全局最大值；但函数( f(x) = x - 3x )在( x=1 )处是局部最大值，而全局最大值可能出现在其他区域。

3.判定条件

单变量函数：
- 一阶导数：极值点处导数为零，即( f'(x_0) = 0 )。
- 二阶导数：若( f''(x_0) < 0 )，则( x_0 )为局部最大值点。
多变量函数：
- 梯度为零：梯度向量( abla f(x_0) = 0 )。
- Hessian矩阵负定：Hessian矩阵在该点负定时，表明是局部最大值。

4.应用与示例

优化问题：在机器学习、经济学中，局部最大值可能导致算法陷入“局部最优”而非全局最优解，需使用随机梯度下降、模拟退火等方法规避。
示例：
- 函数( f(x) = sin(x) )在( x = frac{pi}{2} + 2kpi )处有无数个局部最大值（每个周期一个）。
- 山脉地形中的某个山峰可视为局部最大值，而珠穆朗玛峰是全局最大值。

5.注意事项

局部最优的局限性：实际应用中，局部最大值可能并非最优解，需结合问题背景判断是否需要全局优化。
非光滑函数：若函数不可导（如分段函数），需通过其他方法（如比较区间端点值）判断极值。

通过以上分析，可以理解局部最大值是函数在特定范围内的峰值点，其判定依赖于导数和邻域比较，且在优化问题中需注意其与全局解的关系。