外积展开式英文解释翻译、外积展开式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 outer product expansion

分词翻译：

外积的英语翻译：

【医】 apposition

展开的英语翻译：

spread; unfold; deploy; evolve; open; carry out; splay; stream
【计】 deployment; expand; spread
【化】 development

式的英语翻译：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【医】 F.; feature; formula; Ty.; type

专业解析

在数学和物理学中，"外积展开式"（Expansion Formula for the Exterior Product）指将外积（Exterior Product）运算通过坐标分量展开表达的形式。外积是多重线性代数中的核心运算，具有反对称性（antisymmetry），其展开式常用于张量分析、微分几何及经典力学中。以下是汉英对照的关键解释：

一、核心概念

外积（Exterior Product）
- 定义：两个向量 ( mathbf{u}, mathbf{v} ) 的外积记为 ( mathbf{u} wedge mathbf{v} )，其结果是一个二重向量（bivector），几何上表示由两向量张成的有向面积。
- 数学表达：
  $$
  
  mathbf{u} wedge mathbf{v} = mathbf{u} otimes mathbf{v} - mathbf{v} otimes mathbf{u}
  
  $$
  
  其中 ( otimes ) 为张量积。
- 英文对照：Exterior product (also called wedge product).
展开式（Expansion Formula）
- 含义：在标准正交基下，外积可通过分量计算。例如在三维空间中：
  $$
  
  mathbf{u} wedge mathbf{v} = (u_y v_z - u_z v_y) mathbf{e}_y wedge mathbf{e}_z + (u_z v_x - u_x v_z) mathbf{e}_z wedge mathbf{e}_x + (u_x v_y - u_y v_x) mathbf{e}_x wedge mathbf{e}_y
  
  $$
  
  此即外积的坐标展开式。
- 英文对照：Expansion formula (component-wise expression).

二、物理与几何意义

有向面积：外积结果 ( mathbf{u} wedge mathbf{v} ) 的模长等于以 ( mathbf{u}, mathbf{v} ) 为边的平行四边形面积，方向垂直于该平面（右手定则）。
高维推广：对 ( k ) 个向量的外积 ( mathbf{v}_1 wedge cdots wedge mathbf{v}_k )，其展开式对应 ( k )-维有向体积，分量由行列式给出。

三、权威参考来源

数学定义
- 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）：Gilbert Strang 详细描述了外积的代数性质与展开计算（Sec 4.4）。
- 来源：Strang, G. (2016). Linear Algebra and Its Applications (5th ed.). Cengage Learning.
几何解释
- 《微分形式与几何》（Differential Forms and Geometry）：Henri Cartan 阐述了外积在流形上的几何意义。
- 来源：Cartan, H. (2006). Differential Forms. Dover Publications.
物理应用
- 《经典力学》（Classical Mechanics）：Goldstein 在讨论角动量时使用了外积展开式（Ch 1.5）。
- 来源：Goldstein, H., et al. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.

四、汉英术语对照表

中文	英文
外积	Exterior Product
展开式	Expansion Formula
反对称性	Antisymmetry
二重向量	Bivector
有向面积	Oriented Area

网络扩展解释

外积展开式是线性代数中的概念，通常指将两个向量的外积运算展开为具体分量形式的过程。以下是详细解释：

1. 外积的基本定义

外积（outer product）是两个向量生成矩阵的运算。对于向量 (mathbf{a} in mathbb{R}^m) 和 (mathbf{b} in mathbb{R}^n)，其外积定义为： $$ mathbf{a} otimes mathbf{b} = mathbf{a}mathbf{b}^T $$ 结果是一个 (m times n) 的矩阵，其中每个元素为 (a_i b_j)。

2. 展开式的分量形式

若 (mathbf{a} = [a_1, a_2, dots, a_m]^T)，(mathbf{b} = [b_1, b_2, dots, b_n]^T)，则外积展开式为： $$ mathbf{a} otimes mathbf{b} = begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & cdots & a_1b_n a_2b_1 & a_2b_2 & cdots & a_2b_n vdots & vdots & ddots & vdots a_mb_1 & a_mb_2 & cdots & a_mb_n end{bmatrix} $$

3. 应用场景

量子力学：用于描述量子态的张量积，如投影算符 (|psiranglelanglephi|)。
图像处理：矩阵分解（如奇异值分解）中，外积展开用于低秩近似。
张量代数：高阶张量可分解为多个秩-1外积矩阵的和。

4. 与内积、叉积的区别

内积（点积）：结果是一个标量，定义为 (mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum a_i b_i)。
叉积（三维向量）：结果是一个向量，与外积的矩阵形式不同。

5. 注意事项

外积在不同学科中可能指代不同运算（如微分几何中的外积对应反对称张量），需结合上下文判断。在编程中，需注意向量方向（行/列）对结果矩阵维度的影响。