同伦拓展法英文解释翻译、同伦拓展法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 homotopic continuation method

分词翻译：

同伦的英语翻译：

【计】 homotopy

拓展的英语翻译：

【计】 widening

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

同伦拓展法（Homotopy Continuation Method）是数值计算中用于求解非线性方程组的连续性算法，其核心思想是构造一个从简单问题到目标问题的同伦映射，通过参数连续变化追踪解路径。该方法在工程优化、动力系统分析等领域具有广泛应用，其英文术语对应为"Homotopy Continuation Method"或"Numerical Continuation Method"。

数学原理

定义同伦映射$H(x,t)=0$，其中$tin$为形变参数。当$t=0$时对应已知解$H(x,0)=f_0(x)$；当$t=1$时转化为目标方程$H(x,1)=f(x)$。通过微分方程$frac{partial H}{partial x}dot{x} + frac{partial H}{partial t}dot{t}=0$实现解曲线的追踪。该过程涉及预测-校正算法，需满足Lipschitz连续性条件以保证解的存在性。

算法特征

路径跟踪：采用自适应步长控制技术，解决解曲线分叉问题
并行计算：可同时追踪多条解路径，提升奇异点处理能力
全局收敛性：相较于牛顿法具有更优的收敛半径，适用于多解定位

典型应用

电力系统稳态分析：用于求解潮流方程的多重解问题（IEEE Transactions on Power Systems, 2019）
机械臂逆运动学：解决冗余系统解的连续依赖性（ASME Journal of Mechanisms, 2021）
化学反应平衡计算：处理高维非线性方程组（Chemical Engineering Science, 2020）

权威参考文献

Allgower E.L., Georg K. Numerical Continuation Methods. Springer, 2012
Watson L.T. Homotopy Methods in Computational Economics. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002
张景中.《同伦算法原理》. 科学出版社, 2018

网络扩展解释

同伦延拓法（Homotopy Continuation Method）是一种数学计算方法，主要用于解决非线性方程组的数值解问题，尤其在处理迭代初值敏感问题时具有优势。以下是详细解释：

一、定义与基本原理

同伦延拓法通过构造一个同伦映射（即连续变形路径），将复杂的非线性问题逐步转化为简单问题的解，并追踪该路径以获得原问题的解。其核心思想基于拓扑学中的“同伦不变性”，即通过连续变形保持解路径的连通性。

例如，若求解方程 ( F(x) = 0 )，可构造同伦映射 ( H(x, t) = (1-t)G(x) + tF(x) )，其中 ( G(x) ) 是一个已知解的简单方程（如 ( G(x)=0 )），( t in)。通过参数 ( t ) 从0到1的变化，解路径从 ( G(x)=0 ) 过渡到 ( F(x)=0 )。

二、数学基础

同伦映射：两个连续函数 ( f ) 和 ( g ) 若存在连续映射 ( H(x,t) ) 使得 ( H(x,0)=f(x) )、( H(x,1)=g(x) )，则称 ( f ) 与 ( g ) 同伦。
拓扑度理论：用于保证解路径的存在性和连续性，确保追踪过程中不会丢失解。

三、应用场景

牛顿法的改进：传统牛顿法对初值敏感，而该方法能实现大范围收敛，即使初值远离真解也能追踪到结果。
复杂方程组求解：如机器人运动学、电路设计中的非线性问题。

四、特点

全局收敛性：相比局部收敛的牛顿法，能更稳定地找到解。
转化为微分方程：通过参数化路径，将问题转化为常微分方程初值问题，利用数值积分方法（如欧拉法、龙格-库塔法）求解。

五、示例说明

假设求解 ( F(x)=x - 2 = 0 )，可构造同伦 ( H(x,t)=tx + (1-t)(x - 1) - 2 )。当 ( t=0 ) 时，方程简化为 ( x - 3 = 0 )，解为 ( x=3 )；随着 ( t ) 增加到1，解从3连续变化到 ( sqrt{2} )，通过追踪这一路径即可得到原方程的解。

同伦延拓法通过拓扑学理论将复杂问题“连续变形”为简单问题，是计算数学中一种鲁棒性强的全局优化方法。