variational equation是什么意思，variational equation的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 变分方程

例句

In the variational equation, there is only line integral.

在变分方程中，只存在线积分，没有面积分。

Finally, based on the total variational equation, the finite element method of these problems is also discussed.

最后讨论了利用全变分方程建立有限元的方法。

In this paper, large amplitude variational equation of conical shallow thin shells is derived according to the principle of minimal action quantity.

本文首先用最小作用量原理推导出扁薄锥壳大振幅的变分方程。

The variational equation for general resonant cavities is used to derive the characteristic formula for the resonant frequency of the arbitrarily planar reso aators.

本文应用一般型谐振腔的变分方程，推导了平面型谐振腔谐振频率的特征方程。

According to the stress and Galerkin's variational principles, the mixed variational equations for the laminated shell are presented, from which the state equation is obtained.

根据应力变分原理和伽辽金变分原理，导出叠层圆柱壳的混合变分方程，并将其转换成状态方程。

专业解析

变分方程（variational equation）是微分方程理论中的重要概念，主要用于描述动力系统对初始条件或参数的微小扰动的响应特性。其数学形式通常表现为原系统方程的一阶变分形式，通过线性化方法研究解的稳定性及长期行为。

在数学定义上，若给定常微分方程系统： $$ dot{x} = f(x,t) $$ 其对应的变分方程为： $$ dot{Phi} = D_xf(x(t),t)Phi $$ 其中$Phi(t)$是状态转移矩阵，$D_xf$表示雅可比矩阵。这种方程揭示了系统轨迹在相空间中的局部扩张或收缩特性，为李雅普诺夫指数的计算提供理论基础。

该方程在工程领域有重要应用，例如：

航天器轨道稳定性分析（通过参数扰动研究轨道偏移）
非线性电路设计（评估系统对元件参数变化的敏感度）
气候建模（量化初始条件误差对长期预测的影响）

经典力学中的哈密顿系统也广泛使用变分方程，用于研究守恒量的演化规律。根据Springer出版的《动力系统导论》，变分方程的解可视为系统流映射的微分，为混沌理论中的分形维度计算提供工具。

参考文献：

MathWorld对变分方程的数学定义
MIT OpenCourseWare动力系统讲义
SpringerLink《动力系统导论》专著

网络扩展资料

"Variational equation"（变分方程）是数学和物理中常见的术语，其具体含义根据应用领域有所不同。以下是两种主要解释方向：

1.微分方程与动力系统中的应用

在微分方程理论中，变分方程用于描述系统对初始条件或参数的微小变化的敏感性。例如：

若原方程为 $frac{dx}{dt} = f(x, t)$，其变分方程通常写作： $$ frac{d}{dt} delta x = frac{partial f}{partial x} delta x $$ 其中 $delta x$ 表示解的微小扰动，$frac{partial f}{partial x}$ 是雅可比矩阵。
应用场景：分析解的稳定性、计算李雅普诺夫指数或研究混沌系统。

2.变分法中的变分方程

在变分法中，变分方程指代通过变分原理导出的方程，例如：

欧拉-拉格朗日方程：用于寻找使泛函极值的函数，形式为： $$ frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial dot{y}} right) - frac{partial L}{partial y} = 0 $$ 其中 $L$ 是拉格朗日函数，$y$ 是待求函数。
应用场景：经典力学中的运动方程、最优控制理论等。

区别与联系

微分方程中的变分方程：关注解的局部行为，属于线性扰动分析。
变分法中的方程：关注泛函极值的全局条件，属于优化问题。

若需进一步探讨具体领域的变分方程（如量子力学或工程学），建议补充上下文以便提供更精准的解释。

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