triple integral是什么意思，triple integral的意思翻译、用法、同义词、例句
常用词典
[数] 三重积分
例句
It is not like in a triple integral.
这与三重积分不同。
That's equal to the triple integral over the region inside.
这等价于在这个区域内部的三重积分。
This is just your standard triple integral over a region in space.
这就是空间区域中的标准三重积分。
It's just the same way that you would compute any other triple integral.
这和计算其他三重积分的方法是相同的。
Well, we have to figure out how to set up our triple integral in spherical coordinates.
先看看怎么，在球坐标中建立三重积分。
专业解析
三重积分（triple integral）是多元积分在三维空间中的扩展形式，用于计算标量场或向量场在空间区域内的累积量。其数学定义为：若函数( f(x,y,z) )在闭合区域( Omega )上连续，则三重积分可表示为
$$
iiint_{Omega} f(x,y,z) , dV
$$
其中( dV )表示体积微元，直角坐标系下通常写作( dx,dy,dz )。
核心应用与意义
- 几何应用：三重积分可直接计算三维物体的体积，例如当被积函数为1时，积分结果即为区域( Omega )的体积。
- 物理建模：在物理学中，三重积分用于计算质量（密度函数积分）、重心坐标及转动惯量等参数。例如，质量计算式为( m = iiint_{Omega} rho(x,y,z) , dV )，其中( rho )为密度函数。
- 工程分析：在电磁学和流体力学中，三重积分可描述电场强度、流量等场量的空间分布特性。
计算方法
三重积分通常通过投影法或坐标系转换简化计算：
- 直角坐标系：将积分区域分解为( x )、( y )、( z )方向的累次积分。
- 柱坐标系与球坐标系：适用于对称区域，例如球体或圆柱体内的积分，需引入雅可比行列式修正体积微元。
参考来源
- 《高等数学（下册）》，同济大学数学系编，高等教育出版社。
- Paul's Online Math Notes, Calculus III章节。
- Khan Academy三重积分课程。
网络扩展资料
三重积分（Triple Integral）是微积分中用于计算三维空间区域上函数积分的工具，主要应用于物理、工程等领域的三维问题建模和分析。以下是详细解释：
1. 基本定义
三重积分表示对三元函数 ( f(x, y, z) ) 在三维区域 ( E ) 上的积分，记作：
$$
iiintlimits_{E} f(x, y, z) , dV
$$
- ( f(x, y, z) )：被积函数（如密度、温度场等）。
- ( dV )：体积元素（不同坐标系下形式不同）。
- 积分结果：标量值，代表函数在区域 ( E ) 上的“总量”（如总质量、电荷量等）。
2. 坐标系与体积元素
三重积分的计算依赖于坐标系的选择，常见形式：
- 直角坐标系：
( dV = dx , dy , dz )，直接对 ( x, y, z ) 逐次积分。
- 柱坐标系：
变量替换 ( x = rcostheta, y = rsintheta, z = z )，此时 ( dV = r , dz , dr , dtheta )。
- 球坐标系：
变量替换 ( x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi )，此时 ( dV = rho sinphi , drho , dphi , dtheta )。
3. 应用场景
- 计算三维区域的体积：令 ( f(x, y, z) = 1 )，则积分结果为区域体积。
- 物理量计算：
- 质量：密度函数 ( rho(x, y, z) ) 的积分。
- 重心坐标：通过积分计算位置加权平均值。
- 转动惯量：积分涉及距离平方的函数。
- 概率与统计：三维概率密度函数的积分求概率。
4. 计算步骤
以直角坐标系为例：
- 确定积分区域 ( E )：用不等式描述 ( x, y, z ) 的范围（如 ( a leq x leq b, , y_1(x) leq y leq y_2(x), , z_1(x,y) leq z leq z_2(x,y) )）。
- 选择积分顺序：通常按 ( dz rightarrow dy rightarrow dx ) 或其他顺序，根据区域简化计算。
- 逐次积分：从内到外依次计算单积分。
示例：
$$
int{a}^{b} int{y_1(x)}^{y2(x)} int{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) , dz , dy , dx
$$
5. 注意事项
- 变量替换的雅可比行列式：转换坐标系时需乘以雅可比行列式的绝对值（如柱坐标的 ( r )、球坐标的 ( rho sinphi )）。
- 对称性简化：若区域关于某轴对称，可利用对称性减少计算量（如球体积分用球坐标系）。
- 上下限的确定：正确描述积分区域是难点，建议画图辅助分析。
三重积分扩展了单变量和双变量积分，适用于三维空间中的连续量累积问题。理解其几何意义（如四维“超体积”）和物理应用（如质量、能量计算）是掌握的关键。实际计算时需灵活选择坐标系和积分顺序以提高效率。
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