parametric equation是什么意思，parametric equation的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 参数方程

例句

I have a parametric equation for my surface.

有曲面的参数方程。

That is a parametric equation for the sphere.

那是球体的一个参数方程。

And, so when we think of the trajectory of the moving point, that's called a parametric equation.

而当我们考虑运动点的轨迹的时候，轨迹可以称作是参数方程。

The geometric meaning for the parametric equation of ellipse is a familiar thing (See example 1).

椭圆的参数方程的几何意义是众所周知的(见例1)。

Finally it summarizes the traits of problems which are suitable for using the parametric equation.

最后总结了适宜用参数方程解题的题型特点。

专业解析

参数方程（Parametric Equation）是一种用独立参数（通常用 ( t ) 表示）来描述曲线或曲面上点坐标的数学表达方式。与传统直角坐标系中 ( y ) 直接表示为 ( x ) 的函数（如 ( y = f(x) )）不同，参数方程将每个坐标变量都表示为该参数的函数，从而更灵活地描述复杂几何图形或运动轨迹。

核心概念

基本形式
对于平面曲线，参数方程通常写作：

[ begin{cases} x = f(t) y = g(t) end{cases} ]

其中 ( t ) 是参数（如时间、角度），( f(t) ) 和 ( g(t) ) 是定义坐标的函数。例如，圆的参数方程为 ( x = r cos t,y = r sin t )（( t ) 为角度）。
优势与用途
- 描述复杂轨迹：适用于无法用单一函数 ( y=f(x) ) 描述的曲线（如椭圆、螺旋线）。
- 物理运动建模：在力学中，参数 ( t ) 可代表时间，方程直接描述物体位置随时间变化（如抛体运动轨迹）。
- 简化计算：某些曲线（如摆线）的参数方程比直角坐标方程更简洁，便于求导、积分等操作。

实例分析

以抛体运动为例，若物体以初速度 ( v_0 )、角度 ( theta ) 抛出：

[ begin{cases} x = v_0 cos theta cdot t y = v_0 sin theta cdot t - frac{1}{2}gt end{cases} ]

这里 ( t ) 为时间，方程分别描述水平与垂直方向的位移，比合成方程 ( y = x tan theta - frac{g}{2v_0 cos theta} x ) 更直观。

权威参考

Wolfram MathWorld 对参数方程的数学定义和几何意义有严谨阐述，强调其通过参数消去实现曲线描述的统一性。
可汗学院（Khan Academy）在微积分课程中通过动画演示参数方程如何描述运动轨迹，并讲解其导数与弧长的计算方法。
NASA 技术文档提及参数方程在航天轨道计算中的应用，例如描述卫星在引力场中的位置变化。

应用场景

工程绘图：CAD 软件利用参数方程生成精确的曲线（如贝塞尔曲线）。
计算机图形学：参数化曲面（如 ( x, y, z ) 均为 ( u,v ) 的函数）用于 3D 建模。
控制系统：机器人路径规划中，参数方程可平滑连接轨迹点，避免运动突变。

通过分离变量与引入参数，参数方程突破了传统函数表达的限制，成为描述动态系统和复杂几何的核心工具。

网络扩展资料

参数方程（parametric equation）是一种通过引入独立参数（通常用 ( t ) 或 ( θ ) 表示）来描述变量之间关系的数学表达方式。在几何中，它常用于表示曲线或曲面的坐标点，避免显式方程（如 ( y = f(x) )）在多值性或复杂形状上的局限性。

核心概念

基本形式
在二维平面中，参数方程一般表示为： $$ begin{cases} x = f(t) y = g(t) end{cases} $$ 其中 ( t ) 是参数，覆盖某个区间（如 ( t in [a, b] )）。三维空间可扩展为 ( x = f(t), y = g(t), z = h(t) )。
与笛卡尔方程的区别
显式方程 ( y = f(x) ) 直接关联 ( x ) 和 ( y )，但无法描述闭合曲线（如圆）或多值函数。参数方程通过参数间接关联变量，更灵活。

常见例子

直线：( x = x_0 + at )，( y = y_0 + bt )（方向由 ( a, b ) 决定）。
圆：( x = rcosθ )，( y = rsinθ )（( θ in [0, 2π) )）。
抛物线：( x = t )，( y = t )。
摆线：( x = r(t - sin t) )，( y = r(1 - cos t) )。

应用场景

物理运动轨迹：参数 ( t ) 可代表时间，描述物体位置随时间的变化（如抛体运动）。
计算机图形学：参数方程用于生成复杂曲线（如贝塞尔曲线）。
工程建模：描述机械运动或流体流动路径。

特点

参数消去：通过消去参数 ( t ) 可将参数方程转换为笛卡尔方程，但某些情况下可能复杂（如摆线方程）。
导数计算：曲线斜率通过 ( frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt} ) 求得。

参数方程的优势在于其灵活性和广泛适用性，尤其在处理多变量、动态系统或复杂几何形状时。

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