matroid是什么意思，matroid的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

n. [数] 拟阵，[数] 矩阵胚

例句

The next ******st infinite generalization is finitary matroids.

下一个简单的无限泛化是有限性的拟阵。

In Section 4, we study the nullity functions of poset matroids.

在第4节研究了偏序集拟阵的零度函数。

The research of algorithm of fuzzy circuit for closed fuzzy matroids;

进一步研究了模糊拟阵的性质和结构问题。

The structure and properties of fuzzy matroids are investigated further.

进一步研究了模糊拟阵的性质和结构问题。

Spanning trees of graphs and bases of matroids are basic objects in combinatorial theory.

图的支撑树及拟阵的基都是组合理论的基本研究对象。

In Section 5, we use the corank function of poset matroids to investigate the relationship between a poset matroid and its dual.

在第5节，我们用偏序集拟阵的余秩函数来研究偏序集拟阵与其对偶之间的关系。

Fuzzy matroids is a theory which is set up by introducing the notion fuzzy into theory of matroid, it has existed nearly 20 years old.

模糊拟阵是将“模糊”的概念引入到拟阵理论中而建立起来的理论，已有近20年的历史。

It is shown that the categorical isomorphisms in the category of matroids with either rank strong maps or strong maps as morphisms are isomorphisms in matroids sense.

以秩强映射或强映射为态射的拟阵范畴中的范畴同构都是拟阵同构。

Several important properties of fuzzy close sets and fuzzy closure operator are derived by analyzing and investigating relativity, closure operators and fuzzy close sets in the fuzzy matroids.

通过对模糊拟阵的相关性、闭包算子和模糊闭集的研究，得到了模糊闭集和模糊闭包算子的几个重要性质。

专业解析

拟阵（Matroid）是组合数学和优化理论中的一个核心概念，它抽象了线性代数的线性无关性以及图论中的无环性质，为研究组合结构提供了统一的框架。其核心思想在于推广“独立性”的概念，用于描述一组对象中哪些子集是“独立”的。

核心定义与公理

拟阵通常通过以下等价公理之一来定义（以有限集合 ( E ) 为基础集）：

独立集公理：
拟阵 ( M = (E, mathcal{I}) ) 由基础集 ( E ) 和一个非空独立集族 ( mathcal{I} subseteq 2^E )（满足：
- (I1) 空集独立： ( emptyset in mathcal{I} )。
- (I2) 遗传性：若 ( I in mathcal{I} ) 且 ( J subseteq I )，则 ( J in mathcal{I} )。
- (I3) 交换性（独立集扩张公理）：若 ( I, J in mathcal{I} ) 且 ( |I| < |J| )，则存在元素 ( e in J setminus I ) 使得 ( I cup {e} in mathcal{I} )。
基公理：
拟阵的基是其极大独立集。所有基具有相同大小（称为拟阵的秩）。基族 ( mathcal{B} ) 满足：
- (B1) ( mathcal{B} ) 非空。
- (B2) 基交换公理：对任意 ( B_1, B_2 in mathcal{B} ) 和任意 ( x in B_1 setminus B_2 )，存在 ( y in B_2 setminus B_1 ) 使得 ( (B_1 setminus {x}) cup {y} in mathcal{B} )。
秩函数公理：
秩函数 ( r: 2^E to mathbb{Z}_{ge 0} ) 满足：
- (R1) 有界性：对任意 ( A subseteq E )，有 ( 0 leq r(A) leq |A| )。
- (R2) 单调性：若 ( A subseteq B subseteq E )，则 ( r(A) leq r(B) )。
- (R3) 次模性：对任意 ( A, B subseteq E )，有 ( r(A cup B) + r(A cap B) leq r(A) + r(B) )。
  独立集可定义为满足 ( r(I) = |I| ) 的子集 ( I )。
闭包公理：
闭包算子 ( text{cl}: 2^E to 2^E ) 满足：
- (CL1) 扩展性：( A subseteq text{cl}(A) )。
- (CL2) 单调性：若 ( A subseteq B )，则 ( text{cl}(A) subseteq text{cl}(B) )。
- (CL3) 幂等性：( text{cl}(text{cl}(A)) = text{cl}(A) )。
- (CL4) 交换性：若 ( y in text{cl}(A cup {x}) setminus text{cl}(A) )，则 ( x in text{cl}(A cup {y}) )。

关键概念

秩（Rank）：拟阵的秩 ( r(M) ) 是其基的大小。子集 ( A ) 的秩 ( r(A) ) 是其包含的最大独立集的大小。
闭包（Closure）：子集 ( A ) 的闭包 ( text{cl}(A) = { x in E mid r(A cup {x}) = r(A) } )，包含所有不增加 ( A ) 的秩的元素。
圈（Circuit）：极小相关集（即不是独立集，但任意真子集独立）。圈公理也可定义拟阵。
对偶拟阵（Dual Matroid）：每个拟阵 ( M ) 都有一个对偶拟阵 ( M^* )，其基是原拟阵基在 ( E ) 中的补集。

重要例子

向量拟阵（Vector Matroid / Linear Matroid）：
给定域 ( F ) 上的矩阵或向量集合 ( V = {v_1, ..., v_m} subseteq F^n )。基础集 ( E ) 是向量（或矩阵的列）的索引集。子集 ( I subseteq E ) 独立当且仅当对应的向量集线性无关。这是拟阵概念的直接来源。

来源：Whitney, H. (1935). On the abstract properties of linear dependence. American Journal of Mathematics, 57(3), 509–533.

图拟阵（Graphic Matroid / Cycle Matroid）：
给定图 ( G = (V, E) )。基础集是边集 ( E )。子集 ( I subseteq E ) 独立当且仅当 ( I ) 不包含环（即构成森林）。基对应生成树（连通图）或生成林（不连通图）。

来源：Oxley, J. G. (2011). Matroid Theory (2nd ed.). Oxford University Press. (Chapter 1)

均匀拟阵（Uniform Matroid）：
( U_{k,n} )：基础集大小为 ( n )，所有大小不超过 ( k ) 的子集都是独立的。基是所有大小为 ( k ) 的子集。

应用

拟阵理论在多个领域有重要应用：

组合优化：贪心算法在拟阵上总是找到最优解（如最小生成树问题）。拟阵交和拟阵划分是解决更复杂问题（如最优指派、覆盖问题）的有力工具。
来源：Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd ed.). MIT Press. (Chapter 16)

图论：为图的连通性、平面性、网络流等问题提供抽象框架和分析工具。
编码理论：线性码的校验矩阵定义了向量拟阵，码的性质（如最小距离）与拟阵的圈相关。
代数几何与拓扑：在代数几何中研究线性系，在拓扑中研究胞腔复形的结构。

拟阵是刻画“独立性”的抽象组合结构，其公理系统（独立集、基、秩函数、闭包）相互等价。它统一了线性无关和图的无环性等概念，为组合优化、图论、编码理论等领域提供了强大的理论基础和分析工具。理解拟阵有助于洞察这些领域中诸多算法（如贪心算法）为何有效以及问题的结构本质。

网络扩展资料

Matroid（拟阵）是组合数学和线性代数中的一个重要概念，用于抽象描述“独立性”的结构特性。以下是其核心解释：

1. 基本定义

Matroid 是一个二元组 ( M = (E, mathcal{I}) )，其中：

( E ) 是有限元素集合（称为基础集）；
( mathcal{I} subseteq 2^E ) 是 ( E ) 的子集族，满足：
- 空集属于独立集：( emptyset in mathcal{I} )；
- 遗传性：若 ( A in mathcal{I} ) 且 ( B subseteq A )，则 ( B in mathcal{I} )；
- 交换性：若 ( A, B in mathcal{I} ) 且 ( |A| > |B| )，则存在 ( x in A setminus B )，使得 ( B cup {x} in mathcal{I} )。

2. 核心性质与例子

线性代数中的拟阵：若 ( E ) 是向量集合，( mathcal{I} ) 为线性无关的向量子集，则构成拟阵。例如，矩阵的列向量组的线性独立性满足拟阵公理。
图论中的图拟阵（Graphical Matroid）：将图的边集作为 ( E )，独立集定义为无环的子图（即森林结构）。此例常用于算法设计（如最小生成树问题）。
其他例子：匹配问题、覆盖问题等均可通过拟阵建模。

3. 相关概念

反拟阵（Antimatroid）：与拟阵互补的结构，关注闭合性而非独立性，常见于凸几何和调度问题。
子拟阵与商拟阵：通过限制或收缩操作构造的新拟阵，用于研究原结构的局部性质。

4. 应用领域

组合优化：贪心算法在拟阵结构下可得到最优解（如Kruskal算法求最小生成树）。
编码理论：用于设计纠错码的独立性分析。
计算几何：点集的独立性关系建模。

若需进一步了解具体公理推导或算法应用，可参考组合数学教材或专业文献。

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