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常用词典

[数] 积分

完整（integral的复数）

例句

You know that much about integrals.

你们应该懂很多积分的。

We can convert them to integrals.

我们可以把它变成积分。

I mean, you are doing single integrals.

我的意思是，做一元积分时。

That we can turn the sums into integrals.

以至于我们可以把求和变成积分。

So, line integrals we know how to evaluate.

我们知道如何计算线积分。

常用搭配

integral part

积分部分；整数部份；主要的部分

integral equation

积分方程

integral method

积分法

integral structure

整体结构

definite integral

定积分

专业解析

积分（integrals）是微积分学中的核心概念之一，主要用于描述函数在某一区间内的累积量或整体性质。其数学定义为：若函数( f(x) )在区间( [a, b] )上连续，则定积分表示为

$$

int_{a}^{b} f(x) , dx

$$

它可理解为函数图像与横轴围成的“面积”（考虑正负号的不定向面积）。

类型与意义

1. 不定积分：表示为( int f(x) , dx )，结果是一个函数族（原函数），用于求解微分方程的逆运算。
2. 定积分：具有上下限的积分，计算结果为实数，常用于物理和工程中的实际量计算，如位移、体积等。

应用领域

积分在多个学科中具有重要价值：

• 物理学：通过积分计算变力做功、流体压力等；
• 工程学：分析信号的能量、系统的累积效应；
• 经济学：用于评估收益或成本的长期累积值。

数学工具

微积分基本定理揭示了积分与导数之间的互逆关系，其公式为：

$$

frac{d}{dx} int_{a}^{x} f(t) , dt = f(x)

$$

该定理由牛顿和莱布尼茨独立提出，奠定了现代分析学的基础。

参考文献

1. Khan Academy: Introduction to Integrals
2. Wolfram MathWorld: Integral
3. Stanford University Calculus Resources

网络扩展资料

你提到的单词“integrals”可能是拼写错误。正确的拼写应为integrals（积分），它是数学中微积分的重要概念。以下是详细解释：

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1.基本定义

积分（Integral）用于计算函数在某一区间上的累积量，例如面积、体积、位移等。它是微分的逆运算，与导数共同构成微积分基本定理。

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2.主要类型

• 不定积分（Indefinite Integral）
  表示为 $int f(x) , dx$，结果是一个函数族（原函数），例如：
  $$int x , dx = frac{1}{2}x + C$$
  其中 $C$ 为常数。

• 定积分（Definite Integral）
  表示为 $int_a^b f(x) , dx$，结果是一个数值，表示函数在区间 $[a, b]$ 上的累积量，例如：
  $$int_0 x , dx = frac{1}{2}$$

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3.应用领域

• 几何：计算曲线下面积、旋转体体积。
• 物理：求解位移（速度的积分）、功（力的积分）。
• 概率：概率密度函数的积分用于计算概率。

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4.符号与历史

积分符号 $int$ 由莱布尼茨（Leibniz）发明，源自拉丁语 “summa”（求和）。其含义与极限过程相关，通过分割区间并无限趋近于精确值。

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5.扩展概念

• 黎曼积分：最基础的积分定义，适用于连续函数。
• 勒贝格积分：更广义的积分，适用于更复杂的函数。
• 多重积分：用于多元函数，如计算三维空间体积。

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如果需进一步探讨具体计算或应用场景，可以举例说明！

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