integral equation是什么意思，integral equation的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

积分方程（Integral Equation）是数学分析中的重要概念，指未知函数出现在积分号内的方程。其一般形式可表示为： $$ a(x) phi(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} K(x,t) phi(t) dt $$ 其中$phi(x)$是未知函数，$K(x,t)$称为积分核，$lambda$为参数，$a(x)$和$f(x)$为已知函数。这种方程广泛应用于物理、工程和金融领域，例如电磁场计算、地震波传播建模和期权定价等问题。

积分方程主要分为三类：

1. 第一类积分方程：未知函数仅出现在积分内部，如$int_{a}^{b} K(x,t)phi(t)dt = f(x)$，常见于逆问题和非破坏性检测
2. 第二类积分方程：包含未知函数的显式项，如$phi(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} K(x,t)phi(t)dt$，多用于量子力学和辐射传输问题
3. 奇异积分方程：积分核在定义域内存在奇点，例如柯西主值积分形式，在断裂力学中具有重要应用

该理论的发展与Vito Volterra和Erik Ivar Fredholm等数学家密切相关。Fredholm在1903年建立的算子理论，为积分方程的解析解奠定了严格数学基础。现代数值解法如Nyström方法和伽辽金投影法，已能有效处理复杂核函数的工程问题。

网络扩展资料

积分方程（Integral Equation）是数学中一类重要的方程，其核心特征是未知函数出现在积分号内。它在物理、工程、生物等领域有广泛应用。以下分点详细解释：

1. 基本定义

积分方程的一般形式为： $$ a(x)u(x) + lambda int_{a}^{b} K(x,t)u(t)dt = f(x) $$ 其中：

• ( u(x) ) 是未知函数
• ( K(x,t) ) 称为积分方程的核（kernel）
• ( f(x) )、( a(x) ) 是已知函数
• ( lambda ) 为常数参数

2. 主要类型

(1) Fredholm方程 vs Volterra方程

• Fredholm方程：积分区间固定（如 ([a,b])）
• Volterra方程：积分上限为变量 ( x )（如 (int_{a}^{x})）

(2) 第一类 vs 第二类方程

• 第一类：未知函数仅出现在积分内（如 (int K(x,t)u(t)dt = f(x))）
• 第二类：未知函数同时出现在积分内外（如 (u(x) = f(x) + int K(x,t)u(t)dt)）

(3) 线性 vs 非线性

• 线性：仅含 ( u(t) ) 的一次项
• 非线性：含 ( u(t) ) 的高次项或超越函数（如 ( u(t) ), ( sin u(t) )）

3. 典型例子

• Fredholm第二类方程： $$ u(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} K(x,t)u(t)dt $$
• Volterra第一类方程： $$ int_{a}^{x} K(x,t)u(t)dt = f(x) $$

4. 应用领域

• 物理学：电磁学中的辐射场计算、量子力学散射理论
• 工程学：弹性力学中的接触问题、信号处理
• 生物医学：医学成像技术中的逆问题求解

5. 求解方法

解析解仅对特殊核函数存在（如退化核、卷积核），现代多依赖数值方法：

• 逐次逼近法（Neumann级数）
• 退化核近似
• 有限元/边界元离散化

积分方程与微分方程有密切联系（可通过微分转换为积分方程），但积分方程能更直接描述全局相互作用过程。

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