fibration是什么意思，fibration的意思翻译、用法、同义词、例句

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fibration（纤维化）是数学中拓扑学与代数拓扑领域的重要概念，特指一种满足特定“同伦提升性质”的连续映射。具体而言，若存在映射 $pi: E to B$，对于任意空间 $X$ 及其上的同伦 $H: X timesto B$，若给定初始提升映射 $tilde{H}_0: X to E$（满足 $pi circ tilde{H}0 = H|{X times {0}}$），则存在唯一的同伦 $tilde{H}: X timesto E$ 使得 $pi circ tilde{H} = H$。这一性质保证了纤维（即映射 $pi$ 的逆像 $pi^{-1}(b)$）在拓扑变化下的稳定结构。

核心性质与应用

1. 同伦提升性：fibration 的核心在于局部与整体的同伦相容性，这一性质被广泛应用于研究空间分类和纤维丛理论。例如，在Serre fibration中，该性质允许通过“纤维”分解复杂空间的结构。
2. 与纤维丛的关系：fibration 是纤维丛（fibre bundle）的推广，后者要求局部平凡性（即局部同构于乘积空间 $U times F$），而 fibration 放松了这一条件，仅保留同伦层面的兼容性。
3. 物理与几何应用：在规范场论和量子场论中，fibration 用于描述主丛上的联络与曲率，例如杨-米尔斯理论中的纤维结构。

权威参考来源

• 数学定义详见Wolfram MathWorld的Fibration词条。
• 历史背景可参考Encyclopedia of Mathematics的纤维化理论。
• 物理应用扩展见Springer专著《Fibre Bundles in Physics and Geometry》。

网络扩展资料

“fibration”（纤维化）是数学（尤其是代数拓扑学）中的核心概念，用于描述空间之间的一种特殊映射关系，具有重要的几何与代数性质。以下是详细解释：

1. 基本定义

在拓扑学中，fibration 指一个连续映射 ( p: E to B )，满足“同伦提升性质”（homotopy lifting property）。这意味着：

• 给定任意空间 ( X ) 及其上的同伦 ( H: X times [0,1] to B )，
• 若存在初始映射 ( tilde{H}_0: X to E ) 满足 ( p circ tilde{H}_0 = H_0 )，
• 则存在唯一的同伦 ( tilde{H}: X times [0,1] to E ) 提升 ( H )。

简单来说，基空间 ( B ) 上的路径或变形可以通过纤维化映射 ( p ) “提升”到全空间 ( E )。

2. 关键特性

• 纤维（Fiber）：对任意 ( b in B )，其原像 ( p^{-1}(b) ) 称为纤维，这些纤维在拓扑上是等价的（局部平凡性）。
• 分类：常见的纤维化类型包括：
  • Serre纤维化：允许提升相对于立方体 ( [0,1]^n ) 的同伦。
  • Hurewicz纤维化：提升性质适用于所有空间 ( X )，更强于Serre纤维化。

3. 典型例子

• 平凡纤维化：如乘积空间 ( E = B times F )，映射 ( p(b,f) = b )，纤维为 ( F )。
• 非平凡纤维化：如莫比乌斯带作为基空间 ( B = S )，纤维为线段，但整体空间不可表为乘积。
• 覆盖空间（Covering space）：每个纤维是离散点的纤维化。
• 向量丛：纤维为向量空间，如切丛、余切丛。

4. 应用领域

• 同伦理论：纤维化用于研究空间的同伦群和纤维序列。
• 代数几何：概形间的纤维化推广了向量丛等结构。
• 物理学：在规范场论中，纤维丛描述粒子与场的相互作用。

纤维化是连接不同空间的重要工具，通过提升性质将基空间的局部信息与纤维的全局结构结合。其研究对理解流形分类、拓扑不变量等有深远意义。如需更严格的数学定义或定理，建议参考代数拓扑教材（如Hatcher的《Algebraic Topology》）。

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