biquaternion是什么意思，biquaternion的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

双四元数（Biquaternion）是四元数概念在复数域上的扩展，在数学（特别是克利福德代数和几何代数）以及物理学（如电磁学、相对论）和计算机科学（如计算机图形学中的高级旋转表示）中具有重要理论意义和应用价值。以下是其详细解释：

一、核心定义与数学结构

双四元数可视为具有复数系数的四元数。一个标准四元数表示为 ( q = a + bmathbf{i} + cmathbf{j} + dmathbf{k} )，其中 ( a, b, c, d ) 为实数，( mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k} ) 为满足 ( mathbf{i} = mathbf{j} = mathbf{k} = mathbf{i}mathbf{j}mathbf{k} = -1 ) 的虚数单位。

双四元数则将其系数扩展为复数：

[ q = (a_0 + a_1mathbf{i}_c) + (b_0 + b_1mathbf{i}_c)mathbf{i} + (c_0 + c_1mathbf{i}_c)mathbf{j} + (d_0 + d_1mathbf{i}_c)mathbf{k} ]

其中 ( mathbf{i}_c ) 是复数单位（满足 ( mathbf{i}c = -1 )），与四元数虚单位 ( mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k} ) 相互独立。双四元数代数同构于克利福德代数 ( Cl{3,0}(mathbb{C}) ) 或复化的四元数代数 ( mathbb{C} otimes mathbb{H} )。

二、关键性质与运算

1. 代数结构：双四元数构成一个8维复向量空间（或16维实向量空间），其乘法继承四元数规则并满足复数线性性。
2. 共轭与范数：
   • 定义复共轭（对复数系数）和四元数共轭（对虚单位），组合得到双四元数共轭。
   • 范数 ( N(q) = q bar{q} ) 为复数（而非实数），导致其逆元存在条件更复杂（需范数非零）。
3. 与泡利矩阵的关系：双四元数可表示为 ( 2 times 2 ) 复矩阵（即泡利矩阵的线性组合），这一表示在量子力学中有应用。

三、物理与工程应用

1. 经典电磁理论：
   • 物理学家Ludwik Silberstein (1912–1914) 利用双四元数统一描述电场 ( mathbf{E} ) 和磁场 ( mathbf{B} )，构建麦克斯韦方程组的简洁形式：

     [ left( frac{1}{c}frac{partial}{partial t} + abla right) mathbf{F} = 0 ]

     其中 ( mathbf{F} = mathbf{E} + mathbf{i}_c cmathbf{B} ) 为复电磁场双四元数。

2. 计算机图形学与机器人学：
   • 双四元数可表示刚体运动（旋转+平移），避免四元数插值的奇异性问题，在骨骼动画和运动规划中效率优于齐次变换矩阵。
   • 其数学形式为 ( q = q_r + epsilon q_t )，其中 ( q_r ) 为旋转四元数，( q_t ) 为平移向量，( epsilon ) 满足 ( epsilon=0 )（对偶数结构）。

四、历史背景与理论拓展

双四元数由William Kingdon Clifford 在1876年系统研究，作为其克利福德代数理论的早期实例。现代观点将其视为复四元数代数（biquaternion algebra），与洛伦兹群表示和旋量理论相关联，为广义相对论中的时空几何提供代数工具。

参考文献

1. Weisstein, E. "Biquaternion." MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Biquaternion.html
2. Silberstein, L. (1914). "The Theory of Relativity". Philosophical Magazine, 28(165), 215–230.
3. Kavan, L. et al. (2008). "Geometric Skinning with Approximate Dual Quaternion Blending". ACM Transactions on Graphics, 27(4).
4. "Biquaternion". Encyclopedia of Mathematics. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Biquaternion

网络扩展资料

"biquaternion"（双四元数）是一个数学术语，属于四元数概念的扩展。以下是综合解释：

1. 基本定义
   "biquaternion"由前缀 bi-（表示“双”）和 quaternion（四元数）组成。四元数是四维复数空间中的数学对象，由实部和三个虚部构成，表达式为： $$ q = a + bmathbf{i} + cmathbf{j} + dmathbf{k} $$ 其中 $mathbf{i} = mathbf{j} = mathbf{k} = mathbf{ijk} = -1$（）。

2. 双四元数的扩展
   双四元数通常指四元数的复数化扩展，即每个分量从实数扩展到复数。例如： $$ Q = (a + a'epsilon) + (b + b'epsilon)mathbf{i} + (c + c'epsilon)mathbf{j} + (d + d'epsilon)mathbf{k} $$ 其中 $epsilon=0$，这种结构在几何代数和物理中有应用（）。

3. 应用领域
   双四元数可用于描述三维空间中的双重旋转或运动学问题，例如机器人学中的螺旋运动（）。

4. 语言背景
   在法语中，biquaternion 直接对应中文“双四元数”，属于数学专业术语（）。

若需更详细的数学推导或应用案例，建议参考《几何代数》《四元数与旋转》等专业文献。

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