矩阵分块英文解释翻译、矩阵分块的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 partitioning of matrix

分词翻译：

阵的英语翻译：

a period of time; battle array; blast; front
【机】 array

分块的英语翻译：

【计】 partitioning; unblocking

专业解析

矩阵分块（Matrix Partitioning），在中文数学和计算机术语中又称矩阵分割或分块矩阵，其核心含义是：

将一个大型矩阵通过水平和垂直方向的划分线，系统地分割成若干个更小的矩形子矩阵（称为“块”或“子块”）。这种技术通过降维处理，将复杂的高阶矩阵运算转化为低阶子矩阵的运算组合，显著提升计算效率与理论分析的清晰度。

一、核心定义与数学表示

中文定义
矩阵分块是将矩阵 $A_{m times n}$ 按行分组（$m = m_1 + m_2 + cdots + m_p$）和列分组（$n = n_1 + n_2 + cdots + nq$），形成 $p times q$ 个子矩阵块 $A{ij}$，其中 $i=1,ldots,p$, $j=1,ldots,q$。

分块后的矩阵可表示为：

$$ A = begin{pmatrix} A{11} & A{12} & cdots & A{1q} A{21} & A{22} & cdots & A{2q} vdots & vdots & ddots & vdots A{p1} & A{p2} & cdots & A_{pq} end{pmatrix} $$
英文对照
- Block Matrix: 分块后的矩阵整体（如 "Block matrix multiplication follows specific algebraic rules" 。
- Partitioning: 指分割操作本身（如 "Partitioning a matrix simplifies eigenvalue computation" 。
- Submatrix/Block: 子矩阵块（如 "Each block $A_{ij}$ is a submatrix" 。

二、核心应用价值

计算效率提升
分块后可通过并行计算处理子矩阵（如使用BLAS库的块操作），减少大型矩阵乘法、求逆的复杂度。例如，Strassen算法利用分块将矩阵乘法复杂度降至 $O(n^{2.81})$ 。

理论分析简化
分块矩阵的行列式、秩等性质可通过子矩阵推导（如分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式之积）。

存储优化
稀疏矩阵的分块存储（如Block CSR格式）可提升缓存命中率，减少内存访问延迟。

三、典型应用场景

领域	应用案例
数值线性代数	分块LU分解求解线性方程组（如LAPACK库的`dgetrf`函数）
图像处理	将图像矩阵分块处理局部特征（如JPEG压缩的8×8 DCT变换）
机器学习	分布式训练中将数据矩阵分块分配到多个计算节点（如Spark MLlib）

四、权威参考文献

数学定义
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（5th Ed.）, 分块矩阵运算规则。

算法实现
LAPACK官方文档：分块矩阵分解的数值稳定性分析。

应用扩展
IEEE论文 Block Matrix Methods in Machine Learning，讨论分块矩阵在分布式优化中的作用。

（注：引用来源基于线性代数教材、数值计算库文档及IEEE期刊，链接因平台限制未展示，可依据标题检索原文。）

网络扩展解释

矩阵分块（Block Matrix）是一种将大型矩阵按行或列划分为若干子矩阵（称为“块”或“子矩阵”）的技术，目的是简化运算和分析。以下是核心概念和特点：

1. 基本定义

分块方式：将原矩阵用水平线和垂直线分割成多个小块，每个小块本身是一个更小的矩阵。
示例：
设矩阵 ( A ) 为 ( 4 times 4 ) 矩阵，可划分为四个 ( 2 times 2 ) 子矩阵： $$ A = begin{pmatrix} A{11} & A{12} A{21} & A{22} end{pmatrix} $$ 其中 ( A{11}, A{12}, A{21}, A{22} ) 均为 ( 2 times 2 ) 矩阵。

2. 分块矩阵的运算

加法：对应子矩阵的维度需相同，逐块相加。
乘法：类似普通矩阵乘法，但需子矩阵维度匹配（如 ( A{ik} times B{kj} )）。
转置：整体转置，且每个子块也需转置： $$ begin{pmatrix} A & B C & D end{pmatrix}^T

begin{pmatrix} A^T & C^T B^T & D^T end{pmatrix} $$

3. 应用场景

简化复杂运算：大型矩阵求逆、行列式计算等可通过分块分解为小矩阵运算。
并行计算：分块后各子矩阵可独立处理，提升计算效率。
理论分析：在特征值分析、线性方程组求解中揭示矩阵结构特性。

4. 特殊分块形式

分块对角矩阵：非对角子块为零矩阵，形如： $$ begin{pmatrix} A & 0 0 & B end{pmatrix} $$ 其逆矩阵为各对角块逆矩阵的组合。
分块三角矩阵：上三角或下三角子块为零矩阵。

5. 示例说明

若矩阵 ( A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 34 & 5 & 67 & 8 & 9 end{pmatrix} )，按第一行和第一列分块可得： $$ A = begin{pmatrix} A{11} & A{12} A{21} & A{22} end{pmatrix} quad text{其中} quad A{11} = begin{pmatrix}1end{pmatrix},
A{12} = begin{pmatrix}2 & 3end{pmatrix},
A{21} = begin{pmatrix}47end{pmatrix},
A{22} = begin{pmatrix}5 & 68 & 9end{pmatrix} $$

矩阵分块通过结构分解降低计算复杂度，广泛应用于数值计算、算法优化和理论推导。实际应用中需注意子矩阵的维度匹配问题。